| 研究概要 |
Faigle and Kern (1996)によって導入された双対貪欲多面体と呼ばれる多面体のクラスに対していくつかの理論的成果が得られた.双対貪欲多面体は,左辺の係数行列として半順序集合の反鎖の特性ベクトルを持ち,右辺ベクトルとしてK-劣モジュラ関数とよばれるある種の劣モジュラ関数を持つ線形不等式系によって定義される多面体である.Faigle and Kern (1996)は,双対貪欲多面体上での線形計画問題に対して,双対貪欲算法の有効性を示している.
Ando (2002)においては,双対貪欲多面体上での線形関数の最適値として,Lovasz拡張と呼ばれる関数を定義してこの関数の凸性がK-劣モジュラ性を特徴付けることを示した.さらに,与えられたベクトルxが双対貪欲多面体の端点であるかどうかを判定する多項式時間アルゴリズムを与えた.
Ando (2003)においては,K-劣モジュラ関数の定義域が根付き森と呼ばれる半順序集合の反鎖集合であるときには,双対貪欲多面体は通常の劣モジュラ多面体のMobius写像と呼ばれる線形変換の像であることを示し,双対貪欲多面体上での最適化問題に関する種々の結果が,この線形変換を用いて明らかにされることを示した.例えば,双対貪欲多面体上での双対貪欲算法の有効性や双対貪欲多面体の交わりの定義不等式系の完全双対整数性に対する簡明な証明を与えた.さらに,Mobius変換の一つの応用として双対貪欲多面体上での最大最小定理を得た.
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