無限次元微分Galois理論の解析学への新しい応用

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13874001
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 梅村 浩 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (40022678)
• 研究分担者: 向井 茂 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (80115641)
• キーワード: 微分方程式のガロア理論 / 無限次元代数群 / 形式群

研究概要

我々が1994年に提唱した無限次元微分Galois理論に刺激されて,B.Malgrangeもまた彼の無限次元微分Galois理論を提案した.我々の理論が代数性を前面に出しているのに対して,彼の理論は、Fuchs型の線型常微分方程式のGalois群に関する次の事実の非線型類似を追求したものである.
定理 射影直線上の階数nのFuchs型の線型方程式を考える.この微分方程式のGalois群はモノドロミー群の一般線型群GL_nにおけるZariski位相に関する閉包に一致する.
これら二つの無限次元微分Galois理論の関係は必ずしも明らかではなかった.
よく知られたようにR.Fuchsの方法により線型方程式のモノドロミー保存変形からPainleve方程式を導くことができる.この際に生じる1階非線型代数微分方程式の無限次元Galois群を,昨年度から今年度にかけて計算してきた.この結果を見てMalgrangeは彼の理論でも幾何学的な考察から同じ結論に達することを示した.つまりどちらのGalois理論で計算してもこの例においてはGalois群が一致する.
この具体的な例を通して、何故二つの無限次元微分Galois群が一致するのかを研究した.その結果二つの理論の関係を完全な形で理解しつつある.

研究成果

• [文献書誌] Mukai, Shigeru: "Canonical curves of genus eight"Proc.Japan Acad.Ser.A Math.. 110. 147-162 (2003)
• [文献書誌] Mukai, Shigeru: "Curves and symmetric spaces, II"RIMS, preprint 1395. (発表予定). (2003)
• [文献書誌] Umemura, Hiroshi: "Monodomy preserving deformation and differentia Galois group"Rroc.J.-P.Ramis symposium 2003. (発表予定). (2004)
• [文献書誌] Mukai, Shigeru: "An introduction to module and invariants"Cambridge Univ.Press. 503 (2003)