| 研究概要 |
代表者は,今年度中に分担者黒川とともに以下の研究を行った:
前年度には,カシミール効果のリーマン面における定式化.さらに跡公式を用いてのカシミールエネルギーのセルバーグゼータ関数での表示を得ていた.さらにその系として,計量に関する新しい不変量であるカシミールエネルギーの負値性を証明した.このセルバーグゼータ関数による積分表示を用いると,与えられたリーマン面のタイプのタイヒミュラー空間のなかでの第一変分として,カシミール力が定式化できる.これはコンパクトなリーマン面に対して埼玉大学の権氏によって計算された.
一方で,カシミール効果を具体的に計算するためのポイントとなる正規化(繰込み)について研究を行った.たとえば,ゼータ関数の拡大(黒川・若山)を考えると拡大された高次のリーマンゼータ関数や高次のセルバーグゼータ関数のガンマ因子の計算にはいわゆるゼータ正規化積による計算(後者においては,スペクトルのラプラシアンの行列式)があらわれる.それと同時に,この高次のゼータ関数が上記に述べた権氏によるカシミール力の表示に自然に現れてくることなども分かった.
以上はラプラシアンなどのいわゆるカシミール元によるゼータの正規化表示であるが,リーマンゼータ関数の場合はいまだそれを行列式で表示するための作用素のは未発見である.これについて,いくつかの候補を絶対数学を用いて構成した.
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