カシミール効果のカシミール元と素元分布による研究

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13874004
• 研究機関: 九州大学
• 研究代表者: 若山 正人 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (40201149)
• 研究分担者: 黒川 信重 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (70114866)
• キーワード: カシミール元 / ゼータ正規化積 / リーマンゼータ関数 / セルバーグゼータ関数 / カシミール効果 / 絶対テンソル積 / 跡公式 / オイラー積

研究概要

当該研究期間中に代表者が研究分担者と行った研究概要は以下のとおりである。
量子論における零点エネルギーの典型例であるカシミール効果の、リーマン面においての定式化を行った。
その上で、跡公式を用いてカシミールエネルギーを計算し、それのセルバーグゼータ関数による積分表示を得た。さらに、系として、計量に関する新しい不変量であるカシミールエネルギーの負値性を示した。このセルバーグゼータ関数による積分表示を用いると、与えられたリーマン面の型のタイヒミュラー空間の中での第一変分として、カシミール力(引力となる)が定式化できる。その後、本研究期間中に、高次セルバーグゼータ関数を定義し詳しく研究したが、これを用いると上記の第一変分が計算されることを権氏が証明している。
一方で、カシミール効果を具体的に計算するときのポイントとなるゼータ正規化(無限大の繰り込み)についての研究を行った。高次のセルバーグゼータ関数や、高次のリーマンゼータ関数(これも新たに定義した)のガンマ因子の記述も正規化の研究を通して統一的に行った。また、正規化の概念を拡張することにより、量子類数公式を得たほか、与えられたゼータ関数の零点から構成するゼータ関数の絶対テンソル積の計算に、有限体の場合に成功した。
素数定理をはじめとする素元の漸近分布とカシミール元との直接的なつながりを明らかにすることも目指したが、期間中にはできなかった。ただし、そのために必要と考えられる新しいタイプのオイラー積を定義しその解析的な性質を調べた。今後の研究につなげてゆきたい。

研究成果

• [文献書誌] N.Kurokawa, M.Wakayama: "Casimir effects on Riemann surfaces"Indagationes Mathematicae N.S.(Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen). 12. 63-75 (2002)
• [文献書誌] N.Kurokawa, M.Wakayama: "A generalization of Lerch's formula"Czechoslovak Mathematical Journal. (印刷中).
• [文献書誌] N.Kurokawa, M.Wakayama: "Generalized zeta regularizations, quantum class number formulas, and Appell's $O$-functions"The Ramanujan Journal. (印刷中).
• [文献書誌] N.Kurokawa, M.Wakayama: "Higher Selberg zeta functions"Communications in Mathematical Physics. (印刷中).
• [文献書誌] N.Kurokawa, M.Wakayama: "Analyticity of polylogarithmic Euler products"Rendiconti del Circolo mathemateco di Palermo. 52. 382-388 (2003)
• [文献書誌] N.Kurokawa, M.Wakayama: "Absolute tensor products"International Mathematics Research Notices. 5. 249-260 (2004)
• [文献書誌] 黒川信重, 若山正人: "絶対カシミール元"岩波書店,東京. 191+ix (2002)