| 研究概要 |
(1)3つの相が3重結合を持つ界面によって隔てられている場合について,その定常状態が安定であるための基準を明らかにするとともに,不安定固有値の数を与える式を導いた.これは界面が領域の境界と接する点の曲率によって表現されるが,特にある特性関数の符号が決定的な役割を果たしていることが明らかになった.さらに,数値シミュレーションによって安定あるいは不安定な解の振る舞いを調べた.
(2)あるネットワーク状の細い2次元領域がグラフ状の領域に退化していく様子を解析した.このような領域の上で非線形楕円型方程式を考えると,その解はグラフ上の方程式の解に弱い意味で収束することを示した.また,細い領域が接するところがくびれている場合とふくらんでいる場合の両方についても極限方程式を導いた.
(3)ギーラーとマインハルトによって提唱された活性因子・抑制因子型の反応拡散系について,定常解の安定性を調べた.二つの同心球面に囲まれた領域において,抑制因子の拡散係数が無限大になった極限系の定常解のうち,境界上の一点でのみ極大となるものはいずれも適当な条件のもとで安定であることを証明した.また,領域が細く退化するときのスパイク解の配置について明らかにした.
(4)べきの形の非線形項を含む非線形熱方程式においては,指数がある値を越えると解の構造が急激に変化する.この研究では,指数がある臨界値を超えたときに,定常解の大域的安定性を示した.また,その応用としてきわめて複雑な振る舞いを示す解の存在や,非有界大域解の存在を示した.さらに,解の増大度が初期値の無限遠での減衰率から決まることを明らかにした.
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