数理ファイナンスに現れる自由境界問題の数理解析

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13874022
• 研究種目: 萌芽的研究
• 研究機関: 金沢大学
• 研究代表者: 小俣 正朗 金沢大学, 理学部, 助教授 (20214223)
• 研究分担者: 後藤 俊一 金沢大学, 理学部, 助教授 (30225651)
• キーワード: 数理ファイナンス / ブラックショールズ方程式 / 非線形偏微分方程式 / 数値解析 / 自由境界問題

研究概要

アメリカンオプションに現れる、ブラックショールズ方程式の自由境界問題の研究を行ってきた。現在数値解析法の整備を行っている。自由境界、即ち「権利行使最適値」を見いだすに足る、数値解析プログラムの作成を行うことが目標である。研究は、補助金のおかげと、研究分担者の協力により、順調に進捗している。
ブラックショールズ方程式のアメリカンオプション版は、数学的にはObstacle problem(障害物問題)と呼ばれるもので、楕円型の場合、障害物と解のグラフは1階微分までが一致して(接っして)いる。これは数値解析にとっては誠に都合の悪いことで、自由境界の場所を特定するのを難しくしている。
このため、メッシュを細かくして数値計算を行ったり、さらに微分した方程式から情報を得るなどの工夫が必要になってきている。このために、開発中の分散並列計算機を用いて、大規模計算を行う環境を整えつつある。一部プログラムは順調に動作しており、大規模計算ではメモリーの節約により、パソコンでも動く環境を新たに構築した。
また、複雑なオプションでは高次元の問題が出てくるがこれにも対応するプログラムを開発中である。また、海外補助研究者のLishang Jiang氏にアドバイスをもらい、現在、様々な問題に取り組みつつある。
以上の成果を、学術誌掲載(予定も含む)4報にまとめることができた。

研究成果

• [文献書誌] H.Imai, K.Kikuchi, K.Nakane, S.0mata, T.Tachikawa: "A Numerical Approach to the Asymptotic Bbehavior of Solutions of a One-Dimensional Free Boundary Problem of Hyperbolic Type"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. 18(1). 41-56 (2001)
• [文献書誌] S.Omata, S.Kinami: "A numerical approach to the eikonal equation"Nonlinear Analysis. 47. 3795-3802 (2001)
• [文献書誌] S.Omata, H.Iwasaki, K.Kawagoe: "Numerical calculations for the eikonal equation via the discrete Morse semiflow with Ginzburg-Landau energy"Adv. Math. Sci. Appl.. 11(2)(to appear). (2002)
• [文献書誌] T.Nagasawa, K.Nakane, S.Omata: "Numerical computations for movement of vortices governed by a hyperbolic Ginzburg Landau system"Nonliear Analysis. (to appear).