複雑集合の内と外のポテンシャル解析

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13874023
• 研究機関: 島根大学
• 研究代表者: 相川 弘明 島根大学, 総合理工学部, 教授 (20137889)
• 研究分担者: 熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (90234509) ; 杉江 実郎 島根大学, 総合理工学部, 教授 (40196720)
• キーワード: 容量密度条件 / 内部一様領域 / 調和関数 / Fatou定理 / Martin境界 / Carleson評価 / Besov空間 / フラクタル

研究概要

・境界の容量密度条件の下で,一様領域,内部一様領域,John領域が境界Harnack原理や調和測度の評価で特徴付けられることを示した.また,非可積分な核に対する境界挙動を調べ,Fatou型の定理とLittlewood型の定理を導いた.3G不等式を内部一様領域に対して示すとともに,3次元以上の次元ではMartin境界が位相境界と一致するにもかかわらず,Cranston-McConnellの不等式が成立せず,その結果3G不等式が成立しない領域の例を構成した.p-調和関数に関するCarleson評価を導いた.
・ベソフ空間の理論の応用として、フラクタルを典型例として持つd-setと呼ばれるクラスの上に構成した飛耀型対称確率過程が、Triebel氏を初めとした関数空間の専門家が研究している作用素とどのような関係にあるかを調べ、論文にまとめた。

研究成果

• [文献書誌] H.Aikawa, T.Lundh, T.Mizutani: "Martin boundary of a fractal domain"Potential Anal.. 18. 311-357 (2003)
• [文献書誌] 相川弘明: "複雑領域のMartin境界と境界Harnack原理"数学. 55. 1-19 (2003)
• [文献書誌] H.Aikawa: "Positive harmonic functions of finite order in a Denjoy type domain"Proc.Amer.Math.Soc.. 131. 3873-3881 (2003)
• [文献書誌] H.Aikawa: "Martin boundary and boundary harnack principle for non-smooth domains"Sugaku Expositions. (to appear). (2004)
• [文献書誌] H.Aikawa: "Potential theoretic characterizations of nonsmooth domains"Bull.London Math.Soc.. (to appear). (2004)
• [文献書誌] H.Aikawa: "Fatou and Littlewood theorems for Poisson integrals with respect to non-integrable kernels"Complex Variables Theory Appl.. (to appear). (2004)
• [文献書誌] Z.Q.Chen, T.Kumagai: "Heat kernel estimates for stable-like processes on d-sets"Stoch.Proc.Their Appl.. 108. 27-62 (2003)
• [文献書誌] B.M.Hambly, T.Kumagai: "Diffusion processes on fractal fields and their large deviations"Probab.Theory Relat.Fields. 127. 305-352 (2003)
• [文献書誌] B.M.Hambly, T.Kumagai: "Heat kernel estimates for symmetric random walks on a class of fractal graphs and stability under rough isometries"Proc.of Symposia in Pure Math. (to appear). (2004)
• [文献書誌] T.Kumagai: "Homogenization of Finitely Ramified Fractals"Advanced Studies in Pure Math.. 41(to appear). (2004)
• [文献書誌] B.M.Hambly, T.Kumagai: "Heat Kernel Estimates and Law of the Iterated Logarithm for Symmetric Random Walks on Fractal Graphs"Contemporary Mathematics. (to appear). (2004)
• [文献書誌] T.Kumagai: "Function spaces and stochastic processes on fractals"Progr.Probab.,Birkhauser. (to appear). (2004)
• [文献書誌] 相川弘明(分担執筆): "数学事典第4版の4項目(調和関数,優(劣)調和関数,ディレクレ問題,ポテンシャル論,容量)"日本数学会(to appear). (2004)