| 研究概要 |
主に,リーマン面の正則族とそのモノドロミーに関連することを研究した.(g,n)型のリーマン面の正則族(M,π,S)はタイヒミュラー空間τ_<(g,n)>の中に表現することができる.すなわち,底空間Sの普遍被覆をω:S^^~→Sに対し,正則写像Φ:S^^~→τ_<(g,n)>が存在して,任意の点T∈S^^~上のリーマン面X_<ω(τ)>=π^<-1>(ω(τ))はΦ(τ)の表すリーマン面と双正則同値になる.つまり,Φ(τ)=[X_<ω(τ)>,Σ_<ω(τ)>]となる.ここで,Σ_<ω(τ)>はリーマン面X_<ω(τ)>のマーキングである.底空間Sの基本群をπ_1(S,t_0)とし,タイヒミュラー・モデュラー群(写像類群)をMod_<(g,n)>とするとき,表現写像Φは群の準同型写像(モノドロミー写像)Φ_*:π_1(S,t_0)→Mod_<(g,n)>を定める.
本研究の主結果の一つは,モノドロミーΦ_*(γ)∈Mod_<(g,n)>の分類である.得られた主結果は,ある種の正則族に対して,Φ_*(γ)のBersとThurstonによる分類の型を閉曲線γの幾何的な情報から完全に決定できるというこである.特に次の2つの重要な正則族について考察した.一つはM={(x,y,z)|x,y,z∈S,x≠y,y≠z,z≠x}とするとき,(M,π,S×S＼Δ)であるり,γを組み紐群の言葉で述べて,Φ_*(γ)の分類がなされた.もう一つは,小平曲面から定まる正則族である.
もう一つの主結果は,リーマン面の正則族(M,π,S)に対して,2次元複素多様体Mの普遍被覆空間M^^~の形を決定したことである.そのうちの主なものとしては,(i)M^^~は強擬凸領域と双正則同値にならない,(ii)M^^~は一般には多重円板と双正則同値にならず,また多重円板と双正則同値同値になるための必要十分条件も与えたことが挙げられる.
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