| 研究概要 |
申請者はトーリックカラビヤウ錐多様体の中に特殊ラグランジュ部分多様体及びラグランジュ自己相似解の具体例を構成し, 次にこの結果を錐多様体とは限らない一般のトーリックカラビヤウ多様体に対して拡張した. これにより, 様々な位相形をもつ特殊ラグランジュ部分多様体の族を構成することができた. さらに族のパラメーターを特殊な値にすると特異点を持つ特殊ラグランジュ部分多様体も構成できることが分かった. また, 特殊ラグランジュ部分多様体よりも弱い概念として重み付きハミルトン極小部分多様体という概念を定義し, この具体例も構成した. この重み付きハミルトン極小部分多様体の構成は見方を変えればMironovとPanovのn次元複索平面におけるハミルトン極小部分多様の構成のトーリック多様体への拡張とも思えるということも分かった. さらにこの重み付きハミルトン極小部分多様の具体例のラグランジュ平均曲率流の挙動も考察した. すると, このラグランンジュ平均曲率流は特異点を形成すると同時に位相形を変えながら変形していくことが分かった. この具体例はLeeとWangによるn次元復素平面での先行結果のトーリック多様体への拡張とも考えられる. LeeとWangの具体例は特異点形成は1回だけであるが, 申請者の例は特異点を複数回形成し得る. この具体例を観察することはラグランジュ平均曲率流の一般的な特異点形成の研究や手術理論の構築のために有用であると考えている.
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| 今後の研究の推進方策 |
ラグランジュ平均曲率流は初期ラグランジュ部分多様体がグレイデッドの場合はI型特異点を形成しないことが知られているため, 特異点の研究はII型特異点の研究のみに集中すべきと考えている. またJoyceがフレアーコホモロジーをラグランンジュ平均曲率流の安定性の研究に導入すべきと示唆していて, 申請者もその方針は有効であると考えているので, フレアーコホモロジーの方法もラグランジェ平均曲率流の研究に組み入れていく方針である.
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