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本年度の成果は、Mosco位相による法則収束、法則の意味でのargmin収束、および無限次元の漸近正規性が得られたことである。本研究は、分位点回帰モデルにおけるモデル選択の、統計的損失の最小値達成を証明する。そのために、推定関数が凸であることを利用し、一様収束よりは弱いがargminの収束は保証する強さのMosco位相を使う。昨年度までの研究において、目的関数LADのMoscoトポロジーでの収束は、目的関数LADのレゾルベントの各点収束と同値である、ということがわかった。さらに、このレゾルベントの各点収束は、LADの劣微分作用素のグラフ収束と同値である。よって、LAD劣微分作用素の大数法則を示せば、Mosco収束を示したことになる。LAD劣微分作用素の大数法則は、ランダムセットの大数法則であるが、集合値となる事象は０集合である。よって、通常のヒルベルト空間での大数法則から導け、証明を完遂できた。これらは、推定量および最小損失の一致性の話題である。では、その漸近分布(法則収束)はどうなるであろうか？今年度はこれを求めることを目標にした。
まず、Mosco位相での法則収束を定義した。推定関数が凸であり、パラメタ空間が可分ならば、Mosco位相はmetricを入れることができる。このmetricでBorel集合族をつくり、その上で法則収束を定義した。つぎに下半連続な凸関数に対し、弱位相でのargmin収束を示す。その上で、劣微分作用素に対し、中心極限定理をいう。劣微分作用素は多価写像であるが、その可測選択子に中心極限定理を適用する。そして、可測選択子全体の集合ともとの劣微分作用素は一致することを示した。よって、漸近正規性が出てくる。
今年度はこれらの結果を得るための、数学的道具立ての整備に費やした。目標にしていた結果は概ね得られた。学術専門誌への投稿は今後の課題とするところである。
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