カイラル同変コホモロジーとW代数の研究

2014 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13J09318
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 奥村 将成 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
• キーワード: 頂点代数 / カイラル同変コホモロジー / W代数

研究実績の概要

本研究における主対象の一つであり、かつ未知の部分の多いカイラル同変コホモロジーの基礎となる複体についての研究を行った。このコホモロジーは、通常の同変コホモロジーの代数的な構成法の頂点代数版を考えることで得られる頂点代数である。リー群の作用を与えられた多様体のカイラル同変コホモロジーが極めて重要であるが、複雑な構造を持ち直接取り扱うのが難しい。そこで、多様体の接束の一般化となっている概念であるリー亜代数に付随してカイラル同変コホモロジーが研究代表者により構成されたが、リー群の作用を与えられた多様体の情報を反映している特別なリー亜代数を通して、その多様体のカイラル同変コホモロジーを調べることとした。そのリー亜代数は変形リー亜代数と呼ばれるものである。また、頂点代数を可換化した対象であるポアソン頂点代数の場合に同様の構成を考えることにより、より扱いやすい対象の構成を試みた。まず、ポアソン多様体上の特別な変形リー亜代数の場合を考えた。それに付随して得られるカイラル同変コホモロジーの元になる複体をある意味で含む大きな頂点代数を考え、また、ポアソン括弧を作用素として捉えなおしてそれに対応する頂点作用素をその大きな頂点代数内で構成することにより、その複体がポアソン頂点代数の構造を持つことを示した。さらに、その構成を一般化して、ポアソン超多様体を考えることによりその超ポアソン構造を反映したポアソン頂点超代数が得られた。

現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

本研究において多様体のカイラル同変コホモロジーの性質についてよく知ることは必要不可欠であり、それについての知見が得られた点では進展があった。W代数との関連を調べるという点では進展していない。

今後の研究の推進方策

引き続きカイラル同変コホモロジーについて考察する。特にカイラル同変コホモロジーの可換化についても調べ、可換化する前の通常のカイラル同変コホモロジーについての考察を進める。また引き続きリー群が非可換である場合にもカイラル同変コホモロジーの計算が行えるよう、可換な場合の計算手法の一般化を目指す。そしてそれも利用し引き続きヤンギアン作用の構成を目指す。また、変形リー亜代数の枠組みで得られたW代数を含む頂点代数も性質やカイラル同変コホモロジーとの関連も不明であるためその研究も進める。