無限可積分系の幾何学とモジュライ理論の新展開

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14102001
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 上野 健爾 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40011655)
• 研究分担者: 望月 新一 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (10243106) ; 森脇 淳 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70191062) ; 加藤 文元 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50294880) ; 山田 泰彦 神戸大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (00202383) ; 桂 利行 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40108444)
• キーワード: モジュライ空間 / モジュライ函手 / 位相場の理論 / 共形場理論 / カラビ・ヤウ多様体 / p進解析空間 / パンルヴェ方程式 / 幾何学的クリスタル

研究概要

上野とJ.Andersenは共形場理論からモジュラー函手を構成したが、特にリー代数がsl(n,C)の場合にモジュラー函手とそれから構成される3次元位相場の理論を詳細に研究し、それが本質的にTuraevの構成した不変量を一致することを証明した。また、上野と清水のグループは一般レベルのアーベル的共形場理論を見直して、理論を数学的に厳密に展開することに成功した。さらに、この理論は正標数の場合にも拡張することができることを示した。
桂とG.van der Geerはカラビ・ヤウ多様体の研究を継続して行なった。特にこれまで研究がされていなかった正標数の場合を中心に研究を行い、3次元以上のカラビ・ヤウ多様体のピカール多様体やピカール数と正則1次型式の間に関して興味ある関係を見いだした。
加藤文元はp進解析空間の理論を使ってモジュライ空間の構造を調べる研究を続け、正標数の代数曲線に有限群が作用し、野性的な分岐が生じる場合に理論を応用して、曲線と有限群のペアの変形を構成することに成功した。また、加藤文元はp進解析空間の理論をさらに一般化してrigid幾何学の一般論を構成した。また、望月新一は代数曲線のモジュライをanabelian幾何学の観点から研究し、ガロア群と数論幾何学で興味ある結果を得た。また、森脇敦はモジュライ空間のサイクルに関して研究を行い新しい知見をえた。
山田泰彦のグループは楕円型パンルベ方程式の超幾何型関数解の幾何学的な性質を解明した。また、これまでA^<(1)>_n型の幾何学的クリスタルに関する理論をD^<(n)>_n伊)型の幾何学的クリスタルに関して拡張することに成功した。さらに、上野のグループはリーマン球面上の確定特異点をもつ微分方程式と楕円曲線上に確定特異点をもつ微分方程式との対応関係を楕円曲線の退化の観点から考察できる場合があることを示した。

研究成果

• [文献書誌] Cornelissen, Gunther, Kato, Fumiharu: "Equivariant deformation of Mumford curves and of ordinary curves in positive characteristic"Duke Math.J.. 116. 431-470 (2003)
• [文献書誌] Takesaki, Kanehisa: "Spectral curve, Darboux coordinates and Hamiltonian structure of periodic dressing chains"Commun.Math.Phys.. 241. 111-142 (2003)
• [文献書誌] Miwa, Tetsuji others: "Particle content of the (k,3)-configurations"Publ.Res.Inst.. 40. 163-220 (2004)
• [文献書誌] Ito, Yukari: "The McKay correspondence---a bridge from algebra to geometry"European women in mathematics(Malta). 127-147 (2003)
• [文献書誌] Yamada, Y. othres: "Geometric crystal and tropical R for D^<(1)>_n"Int.Math.Res.Not.. 48. 2565-2620 (2003)
• [文献書誌] Mochizuki, Shinichi: "Topics surrounding the anabelian geometry of hyperbolic curves. Galois groups and fundamental groups"Math.Sci.Res.Inst.Publ.. 41. 119-165 (2003)
• [文献書誌] Ueno, Kenji: "Algebraic geometry.3.Further study of schemes"AMS. 222 (2003)