| 研究課題/領域番号 |
14204008
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
重川 一郎 京都大学, 理学研究科, 教授 (00127234)
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| 研究分担者 |
吉田 伸生 京都大学, 大学院・理学研究科, 講師 (40240303)
日野 正訓 京都大学, 大学院・情報学研究科, 助教授 (40303888)
熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (90234509)
小倉 幸雄 佐賀大学, 理工学部, 教授 (00037847)
会田 茂樹 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助教授 (90222455)
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| キーワード | 確率解析 / ブラウン運動 / Wiener空間 / Littlewood-Paley不等式 / Schrodinger作用素 / 対数Sobolev不等式 / Riemann多様体 / スカラーポテンシャル |
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| 研究概要 |
代表者の研究は、無限次元を中心に拡散過程の解析を行った。特にLittlewood-Paleyの不等式の確率論的な証明を進めている。1つは対数Sobolev不等式が成立する拡散過程に関して、もう1つはRiemann多様体の場合である。無限次元の空間の場合は有限次元の場合のようなSobolevの不等式は成立せず、対数Sobolev不等式しか成立しない。従ってWiener空間のような無限次元の空間をあつかう場合は、このような枠組みが自然で重要となる。得られた結果は生成作用素の平方とグラディエント作用素とのLpノルムの同値性である。生成作用素とグラディエント作用素が可換である場合は議論が易しくなるが、非可換な場合に、非可換な部分が指数可積分性を満たすという条件の下で行った。またRiemann多様体の場合は、境界がある場合に同様の問題を考察し、やはり同値性を示した。この場合は、Ricci曲率が下から有界であること、および境界が凸であるという条件の下で示した。
上の問題はさらに一般化することができる。1つの方向としてスカラーのポテンシャルVを加えることである。従って対象となる作用素はΔ+Vの形のSchrodinger作用素となる。この作用素の平方とグラディエント作用素、およびVの平方を掛けるという掛け算作用素をLpで考え、ノルムの同値性を示すことである。この場合Vの仮定が問題となるが、ここで扱かった場合はlog Vの微分が有界という状況である。
この科研費では、数理解析研究所の2002年度プロジェクト研究「確率解析とその周辺」の支援を行い、McKean, Ustunel, Rocknerなどの研究者招聘を行い、研究交流を促進することができた。
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