| 研究課題/領域番号 |
14204011
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| 研究種目 |
基盤研究(A)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
大域解析学
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| 研究機関 | 東京大学 (2004-2005)
北海道大学 (2002-2003) |
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研究代表者 |
儀我 美一 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70144110)
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| 研究分担者 |
新井 仁之 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (10175953)
利根川 吉廣 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (80296748)
古川 義純 北海道大学, 低温科学研究所, 助教授 (20113623)
中路 貴彦 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30002174)
津田谷 公利 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60250411)
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| 研究期間 (年度) |
2002 – 2005
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| キーワード | 異方性 / ベルグ効果 / 自己相似解 / 適正粘性解 / 非線形拡散型 / 特異垂直拡散 / バーガーズ方程式 / ナヴィエ・ストークス方程式 |
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| 研究概要 |
構造の異方性を反映した非線形拡散型偏微分方程式の解の形状が異方性や拡散効果によってどのように変化していくかを解明するための数学的基礎をいくつかのテーマにわたって築いた。以下、代表的な結果についてのみ述べる。
(i)結晶表面の運動を記述する方程式:雪結晶のように表面エネルギーの異方性が強い場合、その平衡形にファセットと呼ばれる平らな面が現れることがある。駆動力は結晶の外の拡散場になって定まり、拡散場は結晶の形状によって定まる自由境界問題であるが本研究では、(a)ファセットが維持できるとした場合の初期値問題の時間局所可解性;(b)ファセット上での拡散場の大小を主張するベルグ効果の証明;(c)ファセットが曲がってしまうための必要十分条件;(d)自己相似解の存在する十分条件と自己相似解について、その大きさによるファセットが曲がってしまう条件の記述;(e)平衡形の近くではファセットは維持できることの厳密な証明。といったさまざまな重要な結果を得た。なお、結晶形は円柱としている。ベルグ効果では円柱外でのラプラス方程式ノイマン問題の解についての基本的結果を得た。変分法や常微分方程式の結果を巧みに応用することによって上述の結果を得た。今後、ファセットが折れ曲がってからの解の追跡が求められる。
(ii)流体力学の方程式:非粘性バーガーズ方程式では、不連続性を許したエントロピー解の概念を用いれば、時間大域的に一意に解ける非線形項が発散型でかけるということが大前提であり、他の問題に適用できなかった。本計画の直前に代表により導入された適正粘性解の概念は有効である。本計画ではそれを数値計算する上で重要な解のグラフ空間での特異垂直拡散の概念を確立し、適正粘性解を等高面法で数値計算することに成功した。
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