保型形式とP進群の表現

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14340011
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 齋藤 裕 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (20025464)
• 研究分担者: 池田 保 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (20211716) ; 松木 敏彦 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (20157283) ; 西山 享 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70183085) ; 加藤 信一 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90114438) ; 今野 拓也 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授 (00274431)
• キーワード: L-packet(エルパケット) / Arthur packet(アーサーパケット) / 重複度公式 / 特殊線型群 / ユニタリ群 / CAP表現(キャップ表現) / 特殊値 / Delinge予想(ドリーニュ予想)

研究概要

齋藤は、本年度は主として、昨年度平賀との共同研究で得られた非アルキメデス体上の特殊線型群のinner formのL-packetの構造に関する結果を整理し、一般化することを試みた。
その一つは上記結果は、表現にdiscreteという条件が付いていたが、これをより一般のtemperedという条件にすることができた。これにより標準的な仮定のもとで、保型表現に考察には十分な情報が得られた。しかし、より一般な表現を考察し、そのArthur packetを決定することは、今後の重要な問題である。
2番目は、代数体上の特殊線型群のinner formのL-packetを考察するため、一般の条件のもとで、保型表現の部分群への制限の過程を明らかにした。これにより、Blasiusの特殊線型群の保型表現に関する予想をより一般の形で証明することができた。さらに、この方法を用いて、特殊線型群の重複度公式を証明することができた。
第3は、3次のユニタリ群の局所的なL-packetをほぼ決定するとともに、大局的なL-packetについても見通しが得られた。これを完成することは来年度の課題である。
今野は、誘導表現に近い尖点表現であるCAP表現を4次のユニタリ群の場合に考察しこれを決定した。
池田は、池田自身によってその存在が示された、Siegelの保型形式のゼータ関数の特殊値について精密な予想を提出、これがDeligneのゼータ関数の特殊値に関する予想と整合していていることを確かめた。

研究成果

• [文献書誌] 齋藤 裕: "Convergence of the zeta functions of prehomogeneous vector spaces"Nagoya Math.J.. 170. 1-30 (2003)
• [文献書誌] 加藤 信一: "Whittaker-Shintani functions for orthogonal groups"Tohoku J.Math.. 55・1. 1-64 (2003)
• [文献書誌] 西山 享: "Classification of spherical nilpotent orbits for U(p・p)"J.Math. Kyoto Univ.. (印刷中).
• [文献書誌] 西山 享: "Theta lifting of unitary lowest weight modules and their associated cycles"Duke Math.J.. (印刷中).
• [文献書誌] 松木敏彦: "Stein extensions of Riemannian symmetric spaces and dualities of orbits on flag manifolds"Transform. Groups. 8・4. 333-376 (2003)
• [文献書誌] 松木敏彦: "Stein extensions of Riemann symmetric spaces and some generalization"J. Lie Theory. 13・2. 565-572 (2003)