数論的多様体の研究

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14340013
• 研究機関: 広島大学
• 研究代表者: 都築 暢夫 広島大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (10253048)
• 研究分担者: 木村 俊一 広島大学, 大学院・理学研究科, 講師 (10284150) ; 加藤 文元 京都大学, 大学院・理学研究科, 講師 (50294880) ; 伊藤 浩行 広島大学, 大学院・工学研究科, 助教授 (60232469) ; 田口 雄一郎 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (90231399) ; 杉山 健一 千葉大学, 理学部, 助教授 (90206441)
• キーワード: リジッドコホモロジー / オーバーコンバージェントアイソクリスタル / コホモロジー的降下理論 / 固有超被覆 / p進解析 / 国際研究者交流 / オランダ:イタリア

研究概要

平成14年度の研究代表者の研究では、(1)正標数代数多様体間の固有かつ滑らかな写像に関するoverconvergent isocrystal係数の相対rigid cohomologyの有限性
(2)超被履のcohomologyにおける分裂の仮定の除去
に関する以下の結果を得た。(1)多様体の族の生成繊維が形式的に完備離散付値環上に持ち上げ可能ならば、相対rigid cohomologyは稠密な開部分多様体上でoverconvergent isocrystalになる。相対次元が1以下の場合には、持ち上げの存在が知られているので、仮定なしに相対rigid cohomologyの有限性が言える。また、持ち上げに関する条件は、アルタレーションで取り替えてもよい。定理の証明は、P.Berthelotによる多様体族全体の持ち上げがある場合の一般化になっていて、R.Kihelの解析空間の固有写像に対する連接層の直像の有限性定理を用いる。この方法は、複素多様体の固有かつ滑らかな写像に対するde Rham cohomologyの有限性の証明と類似の方法であり、比較定理の一般化を一つの目標とする当研究にとって有意義な結果である。(2)固有超被覆に関するrigid cohomologyのスペクトル系列において、固有超被覆の分裂性の仮定が必要なくなった。この結果は、他のcohomology理論にも拡張できる。
伊藤と研究代表者は、有限体上のKloosterman和に関するrigid cohomologyとp進解析を用いた計算アルゴリズムを構成した。加藤は、Lame型のp進微分方程式とp進算術群による一意化理論に関する結果を得た。また、杉山は、複素多様体上のAbel多様体族に関するBSD予想の類似を研究し、Hodge予想との関系を明らかにし、,田口は、幾何的起源を持つQの絶対Galois表現について結果を得た。

研究成果

• [文献書誌] NOBUO TSUZUKI: "Morphisms of F -isocrystals and the finite monodromy theorem for unit-root F-isocristals"Duke Mathematical Journal. 111・3. 385-418 (2002)
• [文献書誌] Nobuo Tsuzuki: "Cohomological descent of rigid cohomology for proper coverings"Inventions Mathematicae. 151. 101-133 (2003)
• [文献書誌] Nobuo Tsuzuki: "On basechange theorem and cohevence in rigid cohomology"Documenta Mathematica. (発表予定).
• [文献書誌] Hiroyuki Ito: "On extremal elliptic surfaces in characteristic 2 and 3"Hiroshima Mathematical Journal. 32. 179-188 (2002)
• [文献書誌] Fumiharu Kato, Gunther Cornelissen: "Mumford curves with maximal automorphism group"Proceedings of the American Mathematical Society. (発表予定).
• [文献書誌] Fumiharu Kato, Gunter Cornelissen: "Mumford curves with maximal automorphism group II: Lame type groups in genus 5-8"Geometriae Dedicata. (発表予定).
• [文献書誌] Yuichiro Taguchi: "Induction formula for the Artin conductors of mod l Galois representations"Proceedings of American Mathematical Society. 130. 2865-2869 (2002)
• [文献書誌] Yuichiro Taguchi: "On potentially abelian geometric representations"Ramanujan Journal. (発表予定).
• [文献書誌] Atsushi Shiho: "Crystalline Fundamental Groups II. Log Convergent Cohomology and Rigid Cohomology"Journal of Mathematical Science, Univ. of Tokyo. 9. 1-163 (2002)