数論的多様体の研究

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14340013
• 研究機関: 広島大学
• 研究代表者: 都築 暢夫 広島大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (10253048)
• 研究分担者: 木村 俊一 広島大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (10284150) ; 加藤 文元 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50294880) ; 伊藤 浩行 広島大学, 大学院・工学研究科, 助教授 (60232469) ; 田口 雄一郎 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (90231399) ; 杉山 健一 千葉大学, 理学部, 助教授 (90206441)
• キーワード: コホモロジー的降下 / ドラムコホモロジー / リジッドコホモロジー / 比較写像 / 単体的多様体 / 管状近傍 / 埋め込み系 / 計算アルゴリズム

研究概要

平成15年度の研究代表者の研究では、(1)de Rham cohomologyとHodge filtrationのcohomological descent
(2)単体的多様体に対するde Rhamおよびrigid cohomologyの導入と両者間の比較写像の構成
に関する以下の結果を得た。(1)は、平成15年3月から4月に当研究の科研費の援助のもと来日したB.Chiarellotto氏(Padova大学)との共同研究で得られた結果である。R.Hartshorneによるde Rham cohomology論の中でcohomological descentが成立することを示し、得に連接層に対するcohomological descentより、Hodge filtrationもdescentすることが証明できた。R.HartshorneのDe Rham cohomologyやrigid cohomologyもsmoothな空間に埋め込み、その管状近傍におけるde Rham複体のcohomologyとして定義できる。P進局所環上の一個の多様体の場合は、その一般繊維のde Rham cohomologyから特異繊維のrigid cohomologyへ写像が自然に導入できる。Proper smoothな族の場合は、比較写像は同型になる。単体的な場合は、埋め込みの系を構成する必要がある。有限のレベルでのみ必要な構成が可能で、その極限をで比較写像は構成する。
伊藤と研究代表者は、有限体上のKloosterman和の計算アルゴリズムを、Frobeniusが曲線族のGauss-Manin接続から定まる微分方程式系を満たすことを利用して構成した。
加藤は、p進算術群による一意化理論に関する結果を得た。
杉山は、ある3次元多様体のSerberg zeta関数とBSD予想の類似に関する結果を得た。
田口は、適当な分岐の条件のもとGalois表現の非存在に関する結果を得た。さらに、有限体上の楕円曲線の有理点の個数を求める最速アルゴリズムを考察した。

研究成果

• [文献書誌] Bruno CHIARELLOTTO, Nobuo TSUZUKI: "Cohomological descent of rigid cohomology for etale coverings"Rendiconti del Seminario della Universita di Padova. 109. 63-215 (2003)
• [文献書誌] Nobuo TSUZUKI: "On base change theorem and coherence in rigid cohomology"Documenta Mathematica, Extra Volume, Kato's fiftieth birthday. Extra Volume. 891-918 (2003)
• [文献書誌] Nobuo TSUZUKI: "Cohomological descent in rigid cohomology"Volumes of Dwork conferenc. (発表予定).
• [文献書誌] Takakazu SATOH, Yuichiro TAGUCHI: "Computing zeta functions for ordinary formal groups over finite field"Discrete Applied Mathematics. 130・1. 51-60 (2004)
• [文献書誌] Takakazu SATOH, Berit SKJERNAA, Yuichiro TAGUCHI: "Fast computation of canonical lifts of elliptic curves and its application to point counting"Finite Fields and their Applications. 9・1. 89-101 (2003)
• [文献書誌] Yuichiro TAGUCHI: "On potentially abelian geometric representations"The Ramanujan Journal. 7・3. 477-488 (2003)
• [文献書誌] Hyunsuk MOON, Yuichiro TAGUCHI: "Refinement of Tate's discriminant bound and non-existence theorems for mod $p$ Galois representations"Documenta Mathematica, Extra Volume, Kato's fiftieth birthday. Extra Volume. 63-215 (2003)
• [文献書誌] Hiroki SUMIDA-TAKAHASHI: "Computation of Iwasawa invariants of certain real abelian fields"Journal of Number Theory. (発表予定).
• [文献書誌] Gunther Cornelissen, Fumiharu Kato: "Equivariant deformation of Mumford curves and of ordinary curves in positive characteristic"Duke Mathematical Journal. 116・3. 431-471 (2003)
• [文献書誌] Gunther Cornelissen, Fumiharu Kato: "Mumford curves with maximal automorphism group"Proceedings of the American Mathematical Society. (公表予定).
• [文献書誌] Gunter Cornelissen, Fumiharu Kato: "Mumford curves with maximal automorphism group II : Lame type groups in genus 5-8"Geometriae.Dedicata. 102・1. 127-142 (2003)
• [文献書誌] Fumiharu Kato: "Non-archimedean orbifolds covered by Mumford curves"Journal of Algebraic Geometry. (公表予定).
• [文献書誌] 加藤文元: "Rigid analytic geometry"数学. 55・4. 92-417 (2003)