| 研究課題/領域番号 |
14340016
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| 研究機関 | 東京都立大学 |
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研究代表者 |
栗原 将人 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (40211221)
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| 研究分担者 |
川崎 健 東京都立大学, 理学研究科, 助手 (40301410)
中村 憲 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (80110849)
三宅 克哉 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (20023632)
倉田 俊彦 東京都立大学, 理学研究科, 助手 (40311899)
松野 一夫 東京都立大学, 理学研究科, 助手 (40332936)
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| キーワード | 岩澤理論 / 岩澤主予想 / イデアル類群 / Fittingイデアル / Stickelbergerイデアル |
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| 研究概要 |
岩澤理論の中心をなす岩澤主予想は円分Zp-拡大のイデアル類群をガロア群が作用する加群と考え、ガロア群の作用の特性イデアルがP進L関数で形成される、というものであった。我々はイデアル類群(さらにはセルマー群などの代数的対象)とP進L関数、もしくはゼータ関数の値の間のP進的つながり、との間にはもっと深い関係が存在していることを発見し、いくつかの場合にFittingイデアルというものを使ってその関係を定式化した。虚アーベル体のイデアル類群のマイナス部分に対しては、岩澤とSinnottによるStickelbergerイデアルの定義を改良して(我々の定義は円分体のときには岩澤-Sinnottによるものと一致するが一般のアーベル体では少しずれる)○次のFittingイデアルがこのStickelbergerイデアルに等しい、という予想を提示した。そしてかなりの場合にこの予想を証明した。今年度はStickelberger元が本質的に分母を持つ場合も扱うことができた。また総実代数体hとCM体KでK/hがアーベル拡大になっているときKのイデアル類群のP成分Akを考える。K/hのガロア群の奇指標Xに対して、AkのX成分Ak^xを考え、これをOx=Zp[ImX]加群とみなすとAk^xのすべてのFittingイデアルを決定することはAk^xのOx加群としての構造を決めることと同値である。我々はStickelberger元のCM体への一般化である元たちを使って高次のStickelbergerイデアルΘiを定義し、これが次のFittingイデアルFitti(Ak^x)に等しいことを証明した。従ってこのことからAk^xの構造はゼータ関数の値を起源とするもので決定することになる。普通の類数公式がイデアル類群の位数についての情報しかもたらさないのに対し、我々の方法では構造まで決定できることがわかったのである。
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