| 研究課題/領域番号 |
14340025
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
長友 康行 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (10266075)
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| 研究分担者 |
伊藤 光弘 筑波大学, 数学系, 教授 (40015912)
高山 茂晴 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (20284333)
山田 光太郎 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (10221657)
田崎 博之 筑波大学, 数学系, 助教授 (30179684)
大仁田 義裕 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90183764)
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| キーワード | モジュライ空間 / ベクトル束 / 反自己双対接続 / 四元数多様体 / 表現論 / ツイスター空間 / ツイスター作用素 / 対称空間 |
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| 研究概要 |
本年度は、これまでに得られたツイスター方程式の幾何学についての結果をコンパクト四元数対称空間上の等質ベクトル束に適用することにより、すべてのコンパクト四元数対称空間内において零切断と横断的なツイスター切断の零点集合として実現可能な四元数部分多様体を分類し、その結果を用いて新たなASD接続のモジュライ空間を記述することに成功した。この成功の因は、第一に、一般的なツイスター切断が零切断と横断的に交わることをサードの定理を適用することにより示せた点にある。第二に表現論における主軌道の決定という伝統的な問題との接点を見出すことにより、既知の結果、具体的にはW.C.HsiangとW.Y.Hsiangの定理(Ann. of Math. 92,1970)を利用することに成功したことにある。最後にBott-Borel-Weilの理論と本研究で得られたツイスター切断の零点集合の連結性に関する定理とを組み合わせることにより、部分多様体の決定に至ったわけである。コンパクトリー群の実表現で主固定部分群が非自明であり、かつ可換群や離散群でないものと上の部分多様体が1対1に対応するという興味深い結果となった。
なお、上の結果と本研究課題との関連を示すために、上の結果がモジュライ空間の幾何学と密接な関係にあることを指摘する必要があろう。最初に、「モジュライ空間の完備性」を証明するために、この結果を利用することにより、代数幾何学もしくはホモロジー代数的な研究方法をその理論に取り入れることを可能にすることが挙げられる。これはツイスター切断がツイスター空間上の正則切断と関係し、またASD接続がツイスター空間上の正則ベクトル束に対応することが理由である。また、もうひとつモジュライ空間のトポロジーを調べる上である意味で退化したASD接続を定義して、モジュライ空間のコンパクト化を考慮する必要がある。このとき、退化したASD接続と上の四元数部分多様体が関係しているのである。ASD接続が定義されたベクトル束の特性類とポアンカレ双対にあるホモロジー類を代表している部分多様体が上の四元数部分多様体なのである。近年、このコンパクト化に関して多数の論文が出版されはじめたが、その多くは4次元における研究の成功に導かれたものと言える。だが、本研究で得られた結果を参照するとそれらだけでは不満足であるように思われるので、これを引き続き考察したいと考えている。.
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