フラクタルの数学的基礎

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14340034
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
• 研究分担者: 長田 博文 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (20177207) ; 宍倉 光広 京都大学, 理学研究科, 教授 (70192606) ; 熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (90234509) ; 伊藤 俊次 金沢大学, 工学部, 教授 (30055321) ; 佐藤 坦 九州大学, 数理学研究院, 教授 (30037254)
• キーワード: フラクタル / 自己相似集合 / ラプラシアン / 拡散過程 / タイリング

研究概要

木上は自己相似集合上の自己相似測度がvolume doublingになるための簡単な必要十分条件を導いた。その応用としてSierpinski carpet上の自己相似測度でEuclidean distanceに関してvolume doublingとなるものを完全に決定した。さらに、この結果から、自己相似集合上の熱核に関して球の測度を用いたInhomogeneous diagonal estimateを持つための必要十分条件がVolume doublingであることを示した。熊谷は有限分岐的な自己相似集合上の拡散過程のhomoginizationの極限の存在をいくつかの弱い条件のもとで証明することに成功した。佐藤はゲッチンゲン大学のDenker教授と共同でマルコフ過程のマルチン境界上のDirichlet formの構成について研究をおこない、その応用としてSierpinski gasket上のラプラシアンの新しい構成法を見いだした。研究分担者長田はInfinitely ramifiedな自己相似集合上に今までに知られていなかった拡散過程を構成することに成功した。伊藤は自己相似なタイリングとPisotnumberの関係を明らかにした。これらの研究成果は、2003年1月に京都大学数理解析研究所で行われた共同研究集会「フラクタルの数学的諸相」において発表された。さらにこの研究集会に本科研費でGeorgia Insitiute of TechnologyのYang Wang教授、University of OxfordのBen Hambly博士を招待し、今後の研究の課題、国際的な共同研究の方向について検討を行った。

研究成果

• [文献書誌] Matsumoto, S., Shishikura, M.: "Minimal sets of certain annular homeomorphisms"Hiroshima Math.J.. 32-2. 207-215 (2002)
• [文献書誌] Bass, R.F., Kumagai, T.: "Laws of the iterated logarithm for the range of random walks in two and three dimensions"Ann.Probab.. 30-3. 1369-1396 (2002)
• [文献書誌] Hambly, B.M., Kigami, I., Kumagai, T.: "Multifractal formalisms for thelocal spectral and walk dimensions"Math.Proc.Cambridge Philos.Soc.. 132-3. 555-571 (2002)
• [文献書誌] Denker, M., Sato, H.: "Reflections on harmonic analysis of the Sierpinski gasket"Math.Nachr.. 241. 32-55 (2002)
• [文献書誌] Osada, H.: "Harnack inequalities for exotic Brownian motions"Kyushu J.Math.. 56-2. 363-380 (2002)