| 研究概要 |
Mを複素多様体、SをM内の複素解析的集合、E→Mを正則ベクトル束とする。大域的複素解析における拡張問題は、(M,S,E)がいかなる条件をみたすときにS上のEの正則断面がM上のEの正則断面へと拡張できるかを問うものである。Mがスタイン多様体であればこれはどんなSとEに対しても可能である(H.カルタン)。これを精密化することによって代数幾何の問題へも応用可能な拡張定理が得られ(大沢・竹腰)、それを一般化することにより再生核の解析にも有用な拡張定理が得られる(大沢)。これはL^2正則関数の世界で評価式つきの拡張定理を確立することによって達成された。今回の研究は、とくにSが特異点をもつ場合にもこの拡張理論を徹底させようとするものであり、まず以下の定理が得られた。(発表済)
定理、Mは弱1-完備ケーラー多様体、(E,h)はM上のエルミート正則ベクトル束、(L,b)はM上のエルミート正則直線束とする。hとbの曲率形式をそれぞれ【encircled H】_h,【encircled H】_bとするとき【encircled H】_h20であり、あるε>0に対して【encircled H】_h-εId_E【cross product】【encircled H】_b【greater than or equal】0であるとする。ただし不等号は中野の意味とする.このとき、Lの零ではない正則断面Sに対する乗法準同型S:H^g(M,K_M【cross product】E)→H^g(M,K_M【cross product】E【cross product】L)の核は0の閉包にふくまれる。ただしK_MはMの標準直線束を表す。
この結果を精密化したものをプレプリントにまとめた。
また、L^2拡張理論におけるテクニックを利用してLevi平坦超曲面の分類を試み、複素2次元トーラス内の実解析的Levi平坦超曲面を完全に分類し、その結果をn次元に拡張する過程で以下の基本的な結果に到達した(発表予定)。
定理、Mは3次元以上のコンパクトなケーラー多様体、XはM内の実解析的なLevi平坦超曲面とする。このときM＼Xはスタイン多様体ではない。
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