完全WKB法に拠る微分方程式の構造解析

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14340042
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 河合 隆裕 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (20027379)
• 研究分担者: 小池 達也 京都大学, 大学院・理学研究科, 助手 (80324599) ; 青木 貴史 近畿大学, 理工学部, 教授 (80159285) ; 竹井 義次 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (00212019) ; 吉野 正史 広島大学, 理学研究科, 教授 (00145658)
• キーワード: 完全WKB解析 / WKB型擬微分作用素 / 高階バンルヴェ方程式 / ストーク図形 / 西川現象 / 0-パラメタ解 / 第1種の変わり点 / 第2種の変わり点

研究概要

1°WKB型擬微分作用素の完全WKB解析を、超局所解析の手法を援用して、展開し、さらに具体的な例(プラズマ物理学に現われる物)についてその特性方程式の構造を調べた。計算機実験に拠り得た予想を最終的には解析的に証明できたのだがその結果は意外なものであった:物理学者が解析の困難な点として困っていた点は単純変わり点の集積点である。(2003年6月パリ(仏)での国際会議で発表;青木・河合・小池・竹井、RIMS Preprint 1429(2003))。
2°数理解析系院生西川が高階パンルヴェ方程式のストークス図形に関して発見した、所謂"西川現象"は問題となる線型方程式が2階になることを用いると理論的にその存在を予知できたはずであることを発見し、このobservationを出発点に仮想的変わり点の観点から西川現象の解析的研究を進めている。(2003年9月ツールーズ(仏)での国際会議で発表;河合・小池・西川・竹井、RIMS Preprint 1443(2004))。
3°高階パンルヴェ方程式の内、少くとも(P_I)型及び(P_<II-1>)型に就ては関連する線型方程式が2階であることを用いて少くとも第1種変わり点の近傍では、0-パラメタ解は通常の1型パンルヴェ函数に変換できることを証明。(現在発表準備中(河合・竹井))これは2階の任意のパンルヴェ方程式の0_-パラメタ解に対する対応する定理(河合・竹井に拠る)を無限個の対象を含むパンルヴェ階層に拡張した画期的な結果と思われる。第2種の変わり点の近傍での0_-パラメタ解及び第1種の変わり点の近傍での2_-パラメタ解に就ても、その構造はかなりはっきりと見えてきた感じである。

研究成果

• [文献書誌] Takahiro Kawai, T.Aoki, T.Koike, Y.Takei: "On the exact WKB analysis of operators admitting infinitely many phases"Adv. in Math.. 181. 165-189 (2004)
• [文献書誌] Takahiro Kawai, T.Aoki, Y.Takei: "The exact steepest descent method - A new steepest descent method based on the exact WKB analysis"Adv. in Pure Math.. (to appear).
• [文献書誌] Takahiro Kawai, T.Aoki, T.Koike, Y.Takei: "On global aspects of exact WKB analysis of operators admitting infinitely many phases"Contemporary Math.. (to appear).
• [文献書誌] Takahiro Kawai, T.Aoki, T.Koike, Y.Takei: "On the exact WKB analysis of microdifferential operators of WKB type"RIMS preprint 1429. (2003)
• [文献書誌] Takahiro Kawai, T.Koike, Y.Nishikawa, Y.Takei: "On the Stokes geometry of higher order Painleve equations"RIMS preprint 1443. (2004)