| 研究課題/領域番号 |
14340045
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
小谷 眞一 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10025463)
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| 研究分担者 |
眞鍋 昭治郎 大阪大学, 大学教育実践センター, 教授 (20028260)
杉本 充 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60196756)
内田 素夫 大阪大学, 大学院理学研究科, 助教授 (10221805)
降籏 大介 大阪大学, サイバーメディアセンター, 助教授 (80242014)
磯崎 泰樹 大阪大学, 大学院・理学研究科, 講師 (90273573)
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| キーワード | 超局所解析 / 擬微分作用素 / シュレーディンガー方程式 / マルチンゲール / バーガーズ方程式 |
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| 研究概要 |
微分方程式の研究
1.分散型方程式の平滑化作用に関する研究
・定係数の場合:正準変換により単純な標準形の場合の考察に帰着する新しい方法論を考案した。これにより、今まで知られていた結果のほとんどが簡単に証明されることが示され、さらには同じ原理で未知の結果も簡単に示されるようになった。
・臨界指数に関する場合:平滑化作用は臨界指数においては成立しないことが知られているが、平滑化作用がおきる方向を制限すれば臨界指数においても成立する。この現象を古典軌道の言葉を用いて定式化した。
・変数係数の場合:以上の結果を変数係数の場合へ拡張することを試みた。
2.ヘルマンダーの一意性定理の幾何学的な証明
ヘルマンダーの強擬凸条件を(多重特性的な場合も許す一般の)微分方程式系に対して定式化した。そこに現れる2次形式が、実は、方程式系の一般化されたレビ形式のある(幾何学的に意味のある)パラメータに関する変形として得られるものに他ならないことに注意して、ヘルマンダーの一意性定理に新しい幾何学的な証明を与えた。
3.散乱問題
Mirror対称性の応用として、狭義凸な障害物により回折する高周波のふるまいがどのように解析されるのかを説明した。
4.スペクトル理論
Kreinのストリング理論は片側が特異性を持たない場合のストリングとスペクトル測度の1対1対応の理論であったが、片側が特異である場合にもそれが成り立つことを示した。
5.確率論
揺動理論の定理を拡張し、3つの確率変数を含む形の定理を得た。これを2次元ランダムウォークの半直線への到達時刻・位置の同時分布の漸近評価に応用した。
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