| 研究課題/領域番号 |
14340050
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
綿谷 安男 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (00175077)
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| 研究分担者 |
松井 卓 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (50199733)
濱地 敏弘 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (20037253)
幸崎 秀樹 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (20186612)
中路 貴彦 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30002174)
梶原 毅 岡山大学, 環境理工学部, 教授 (50169447)
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| キーワード | 複素力学系 / C^*-環 / ヒルベルト双加群 / クンツ環 / 有理関数 / トエプリッツ作用素 / ジュリア集合 / 作用素 |
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| 研究概要 |
この研究では多項式や有理関数の反復合成のつくる複素力学系からヒルベルト空間上の作用素のつくる特別なC^*環を構築し、異なる二つの分野の関係を考察することが目的であった。有理関数fをリーマン球面上の複素力学系とみると、その反復合成の点列の挙動は穏やかな振る舞いをする点と不安定で複雑な振る舞いをする点があらわれる。前者の点の全体はFatou集合F_f、後者の点の全体はJulia集合J_fといわれる。後者のカオス的振る舞いを反映するように、まずJulia集合J_fとの連続関数環A=C(J_f)上のヒルベルト双加群X_fを構成した。有理関数はリーマン球面上の有限分岐被覆写像なので、その分岐点での分岐指数をうまく考慮すると、fのグラフにC^*環A値内積が入るのがポイントである。ヒルベルト双加群X_fからToeplitz-Pimsner環T_fとその商環であるCuntz-Pimsner O_fを構成できる。このようにして有理関数fに新しくC^*環O_fを対応させることができた。特にfが多項式の時でさえ、C^*環O_fの構造はほとんどわからない。fが1次式f(z)=az+bの時には、Julial集合J_fが空集合でないのは|a|>1の場合だけで、このときC^*環O_fは円周S^1上の連続関数環C(S^1)になる。fが2次以上の有理関数の時には、C^*環O_fはいつでも純無限の単純C^*環になることをすでに示した。今年度の研究では、分岐点の構造がヒルベルト双加群X_f上のコンパクト作用素全体とA=C(J_f)の作用の共通部分に対応するAのイデアルできっちり記述できることを示した。それにより、Fatou集合F_fとJulia集合J_fによるリーマン球面の分解の対応物としてC^*環O_fを大きい環のイデアルによる商環として実現した。
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