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2005 年度 研究成果報告書概要

複素解析とヒルベルト空間上の作用素の新しい架け橋

研究課題

研究課題/領域番号 14340050
研究種目

基盤研究(B)

配分区分補助金
応募区分一般
研究分野 基礎解析学
研究機関九州大学

研究代表者

綿谷 安男  九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (00175077)

研究分担者 幸崎 秀樹  九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (20186612)
濱地 敏弘  九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (20037253)
松井 卓  九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (50199733)
梶原 毅  岡山大学, 大学院・環境学研究科, 教授 (50169447)
中路 貴彦  北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30002174)
研究期間 (年度) 2002 – 2005
キーワード複素力学系 / C^*-環 / ジュリア集合 / フラクタル集合 / クンツ環 / 有理関数 / 縮小写像 / 作用素
研究概要

本研究の目的は,多項式や有理関数の反復合成のつくる複素力学系からヒルベルト空間上の作用素のつくる特別なC^*環を構築し、異なる二つの分野の関係を考察することであった。Julia集合J_Rの連続関数環A=C(J_R)上のヒルベルト双加群X_RからToeplitz-Pimsner環T_X_Rとその商環であるCuntz-Pimsner O_R=O_R(J_R)を構成した。同様にしてC^*環O_R(C^^^)やO_R(F_R)も構成できた。Rが2次式R(z)=z^2+cの時でも、cがMandelbrot集合に属さない場合は、C^*環O_RはCuntz環O_2と同型になる。cがMandelbrot集合に属する場合は、c=0やテント写像を与えるc=-2のような特殊な時はその構造がわかった。今回の研究での最も大きな成果は、Rが2次以上の有理関数の時、C^*環O_Rはいつでも純無限の単純C^*環になることを証明できたことである。また、分岐点の構造がヒルベルト双加群X_R上のコンパクト作用素全体K(X_R)と、A=C(J_R)の作用の共通部分に対応するAのイデアルI_Xできっちり記述できることを示した。それにより、Fatou集合F_RとJulia集合J_Rによるリーマン球面の分解の対応物としてC^*環O_R(J_R)を大きい環C^*環O_R(C^^^)のFatou集合に対応するあるイデアルによる商環として実現した。さらに、有理関数Rのジュリア集合が縮小写像族の自己相似集合として実現できる場合を手がかりとして、コンパクト集合上の縮小写像族によるフラクタル図形での類似を研究した。特に重要な成果として、その開集合条件が対応するC^*環の純無限単純性を導くことを示した。またそのK群を計算し縮小写像族の言葉だけで書いた。テント写像やシェルピンスキーのギャスケットやコッホ曲線などの具体例についてもK群を計算したりそのtorsion要素を調べて、異なる縮小写像系が同じフラクタル図形を与えても、同型でないC^*環がでてくることもわかった。

  • 研究成果

    (12件)

すべて 2005 2004 2003 2002 その他

すべて 雑誌論文 (12件)

  • [雑誌論文] C^*-algebras associated with complex dynamical systems2005

    • 著者名/発表者名
      T.Kajiwara, Y.Watatani
    • 雑誌名

      Indiana Univ.Math.J. 54

      ページ: 755-778

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [雑誌論文] C^*-algebras associated with complex dynamical systems,2005

    • 著者名/発表者名
      T.Kajiwara, Y.Watatani
    • 雑誌名

      Indiana Univ.Math.J. 54

      ページ: 755-778

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [雑誌論文] Relative positions of four subspaces in a Hilbert space and subfactors2004

    • 著者名/発表者名
      Y.Watatani
    • 雑誌名

      ASPM 38

      ページ: 319-328

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [雑誌論文] Jones index theory for C^*-bimodules and its equivalence with conjugation theory2004

    • 著者名/発表者名
      T.Kajiwara, Y.Watatani
    • 雑誌名

      J.Funct.Anal. 215

      ページ: 1-49

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [雑誌論文] Relative positions of four subspaces in a Hilbert spaces and subfactors2004

    • 著者名/発表者名
      Y.Watatani
    • 雑誌名

      ASPM 38

      ページ: 319-328

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [雑誌論文] Jones index theory for C^*-bimodules and its equivalence with conjugation theory,2004

    • 著者名/発表者名
      T.Kajiwara, Y.Watatani
    • 雑誌名

      J.Funct.Anal. 215

      ページ: 1-49

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [雑誌論文] Means of Hilbert space operators2003

    • 著者名/発表者名
      F.Hiai, H.Kosaki
    • 雑誌名

      Ledume Note in Math(springer) 1820

      ページ: 1-148

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [雑誌論文] Means of Hilbert space operators2003

    • 著者名/発表者名
      F.Hiai, H.Kosaki
    • 雑誌名

      Lecture Note in Math.(Springer) 1820

      ページ: 1-148

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [雑誌論文] Hilbert C^*bimodules and continuous Cuntz-Krieger algebras2002

    • 著者名/発表者名
      T.Kajiwara, Y.Watatani
    • 雑誌名

      J.Math.Soc.Japan 54

      ページ: 56-71

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [雑誌論文] Hilbert C^*-bimodules and continuous Cuntz Krieger algebras2002

    • 著者名/発表者名
      T.Kajiwara, Y.Watatani
    • 雑誌名

      J.Math.Soc.Japan 54

      ページ: 56-71

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [雑誌論文] C^*-algebras associated with self-similar sets

    • 著者名/発表者名
      T.Kajiwara, Y.Watatani
    • 雑誌名

      J.Operator Theory (to appear)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [雑誌論文] C^*-algebras associated with self-similar sets,

    • 著者名/発表者名
      T.Kajiwara, Y.Watatani
    • 雑誌名

      J.Operator Theory (to appear)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より

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公開日: 2007-12-13  

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