特異積分とその応用

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14340051
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 研究機関: 東京女子大学
• 研究代表者: 宮地 晶彦 東京女子大学, 文理学部, 教授 (60107696)
• 研究分担者: 佐藤 秀一 金沢大学, 教育学部, 助教授 (20162430) ; 小薗 英雄 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00195728) ; 勘甚 裕一 金沢大学, 工学部, 教授 (50091674) ; 薮田 公三 関西学院大学, 理工学部, 教授 (30004435) ; 立澤 一哉 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (80227090)
• キーワード: 特異積分 / ハーディ空間 / 移植定理 / ヤコビ級数 / リトルウッド・ペーリー関数 / 楕円型作用素 / 重み付き不等式

研究概要

領域上のHardy空間で特異積分作用素を考えることに成果があった。このことに関しては既に、Chang-Krantz-Stein(1993)、Chang-Dafni-Stein(1999)による研究があったが、彼等とは違う設定のHardy空間において特異積分作用素が有効に扱えることがわかった。我々の設定では領域上にdoubling conditionをみたす測度が与えられているとし、領域上のdistributionに対して最大関数を定義し、最大関数が与えられた測度に関してp乗可積分であるようなdistributionの全体をもって、Hardy空間と定義する。これはStromberg-Torchinsky(1989)によるユークリッド空間上の重み付きHardy空間を領域上の空間へ一般化したものである。このHardy空間について、アトム分解、関数の掛け算、領域の微分同相写像による変数変換、等の基本的な性質を確立した。さらに、領域が1次元の開区間(0,π)で測度がθ^a(π-θ)^bdθという場合の我々のHardy空間を用いて、Jacobi級数に対する移植定理を示すことができた。この移植定理は、重み付きのL^P空間(1<P<∞)の場合にMuckenhoupt(1986)が示した定理の自然な一般化になっていて、われわれの導入した領域上の重み付きHardy空間に特異積分作用素がうまく作用することを示している。
他に、Jacobi級数に関するHardyの不等式、楕円型偏微分作用素の固有値の評価、Lieb-Thirring不等式の低次元での一般化、特異積分とLittlewood-Paley関数に関する不等式の証明、臨界Sobolev不等式とその非線型方程式への応用、Lipschitz領域でのStokes問題、外部領域でのNavier-Stokes flowの研究、などに研究成果があった。

研究成果

• [文献書誌] Akihiko Miyachi: "Weighted Hardy spaces on a domain and its application"Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis. 117-140 (2003)
• [文献書誌] Akihiko Miyachi: "A transplantation theorem for Jacobi series in weighted Hardy spaces"Advances in Mathematics. (発表予定).
• [文献書誌] 勘甚裕一: "直交関数系の調和解析"数学(日本数学会編集). 55(1). 55-71 (2003)
• [文献書誌] Kazuya Tachizawa: "On the moments of the negative eigenvalues of elliptic operators"Journal of Fourier Analysis and Applications. 8. 233-244 (2002)
• [文献書誌] Kazuya Tachizawa: "A generalization of the Lieb-Thirring inequalities in low dimensions"Hokkaido Mathematical Journal. (発売予定).
• [文献書誌] Shuichi Sato他1名: "Remarks on Littlewood-Paley functions and singular integrals"Journal of Mathematical Society of Japan. 54. 565-585 (2002)
• [文献書誌] Shuichi Sato, Kozo Yabuta: "Multilinearized Littlewood-Paley operators"Scientiae Mathematicae Japonicae. 55. 447-453 (2002)
• [文献書誌] Shuichi Sato: "Some weighted estimates for Littlewood-Paley functions and radial multipliers"Journal of Mathematical Analysis and Applications. 278(2). 308-323 (2003)
• [文献書誌] Kozo Yabuta 他2名: "On commutators of Marcinkiewicz integrals with rough kernel"Journal of Mathematical Analysis and Applications. 275. 60-68 (2002)
• [文献書誌] Toshinori Oaku 他2名: "Algebraic algorithms for D-modules and numerical analysis"Proceedings of Asian Symposium on Computer Mathematics. (発売予定). (2003)
• [文献書誌] Hideo Kozono 他1名: "Stokes problem for Lipschitz domain"Indiana University Mathematics Journal. 51. 1235-1260 (2002)
• [文献書誌] Hideo Kozono 他2名: "The critical Sobolev inequalities in Besov spaces and regularity criterion"Mathematische Zeitschrift. 242. 251-278 (2002)