| 研究概要 |
昨年度は「くりこみ群」をひとつのキーワードとして、非線形シュレディンガー方程式の爆発解と(半線形)熱方程式の解の挙動の探求が,思想的にも技術的にも、精神を同じくしていることを、名和と石毛が運営メンバーに名を連ねる『語ろう「数理解析」』(http://www.gifu-u.ac.jp/~tisiwata/seminar/ma_seminar.html)通して,物理学者らとも交流を重ねることによって確認することができた。しかし、くりこみ群による解析は、「粗視化」を行うことによって「系」の特徴的な振る舞いを抽出しているのであり、微分方程式論的には失った情報の「回復」が重要であるという認識にも至っていた。そこで今年度からは,新たに,研究分担者に鈴木と小川を加えて、走化性方程式の持つ統計力学的構造、スイフト-ホッヘンバーグ方程式の持つ力学系的な構造からの知見も取り入れようと試みた。また、上記セミナーでは、統計物理や流体力学の研究者との交流も続けるなか、トポロジーの特異点論の研究者との交流も始めた。そういうこともあって、表面的には、研究分担者各々が個別の研究分野で成果を上げた年となったが、銘々が複数の講演機会を得て多くの研究者との交流があり、研究協力者も増えて情報交換がより密になさるようになった。
名和は、擬共型不変な非線形シュレディンガー方程式の爆発解の爆発オーダーと漸近挙動との間に一つを関係を見いだして、近年問題にしている、ネルソン過程と呼ばれる確率過程と爆発オーダーとの関係性に迫ることができた。石毛は、半線形熱方程式の爆発解の挙動の研究に加えて、外部領域における線形の熱方程式の最大点の挙動について研究を行い、特に、ノイマン境界条件の場合、過去の球対称な初期値に対する結果から、最大点は領域の境界に近づくと推察されていたが、一般には必ずしもそうではないことを示した。また、この研究によって、無限遠点において減衰が早い初期値に対しては最大点の時間無限大での到達点を正確に予想することが可能になった。これらの情報や技術は、半線形熱方程式やシュレディンガー方程式の爆発解の爆発点の挙動の解析にも役立つことが期待される。さらに、鈴木が取り組んでいる、双対変分原理からギンヅブルグ-ランダウ方程式の自己組織化(パターン形成)を解明しようとする試みや、小川のスイフト-ホッヘンバーグ方程式のそれへの力学的なアプローチは、今後の本研究課題に与える影響が大きいと考えている。
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