半整数の重さのモジュラ形式のフーリエ係数とゼータ関数の特殊値の数論的研究

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540002
• 研究機関: 岩手大学
• 研究代表者: 小嶋 久し 岩手大学, 教育学部, 教授 (90146118)
• 研究分担者: 川田 浩一 岩手大学, 教育学部, 助教授 (70271830) ; 沼田 稔 岩手大学, 教育学部, 教授 (50028255) ; 押切 源一 岩手大学, 教育学部, 教授 (70133931) ; 宮井 秋男 岩手大学, 教育学部, 講師 (70003960) ; 小宮山 晴夫 岩手大学, 教育学部, 助教授 (90042762)
• キーワード: 半整数の重さのモジュラ形式 / ゼータ関数 / ヤコビ形式 / モジュラ形式 / マースの波動形式

研究概要

(1)池田氏は,楕円モジュラ形式のHecke固有関数fからHecke固有関数になる次数2nのSiegelモジュラ形式Fを構成し,更にFに付随する標準的ゼータ関数をFに付随するゼータ関数のいくつかの積の形に表示した。W.Kohnenは,池田持ち上げをKohnen空間SからSiegelモジュラ形式の空間S(2n)への線形写像Iの形で再定式化し,次数2nのSiegelモジュラ形式のMaass空間M(2n)の定義をSiegelモジュラ形式のFourier係数の間のある種の線形な関係式として与えた。彼はまた同時に,池田持ち上げの像I(S)がM(2n)と一致するというKohnen予想を提出した。Maass空間を一般の次数のSiegelモジュラ形式に拡張することおよびリフテングの像を決定することは,Siegelモジュラ形式の持ち上げの研究の中で中心的な懸案の課題であった。
私はW.Kohnen氏との共同研究で,4|nおよび4|n-1の場合に池田持ち上げの像I(S)はMaass空間M(2n)と一致することを証明し,Kohnenの問題を肯定的に解決した。論文はCompositio Math.に出版予定である。
(2)Gross-Kohnen-ZagierによるFourier-Jacobi形式のフーリエ係数の平方をモジュラ形式のゼータ関数の中心値で表示する結果を,総実代数体上のHilbert-Fourier-Jacobi形式の場合に拡張した。すなわち,総実代数体上のガウス和の性質を用いて,総実代数体上のHilbert-Fourier-Jacobi形式からHilbertモジュラ形式への対応を構成し,Hilbert-Fourier-Jacobi形式のフーリエ係数の平方をHilbertモジュラ形式に付随するゼータ関数の中心値で表示する。

研究成果

• [文献書誌] Hisashi Kojima: "On the Fourier coefficients of Hilbert-Maass wave forms of half integral weight over arbitrary algebraic number fields"J.Number theory. 107(to appear). 25-62 (2004)
• [文献書誌] Hisashi Kojima 他: "A Maass space in higher genus"Compositio Math.. (submitted)(to appear).
• [文献書誌] Hisashi Kojima 他: "On the Fourier coefficients of modulor forms of half integral weight belonging to Kohnen's spaces and the cretical values of zeta functions"Tohoku Math.J.. 56(to appear). 125-145 (2004)
• [文献書誌] Genichi Oshikiri: "A divergence-like characterization of admissible functions of digraphs"Tohoku Math.J.. (submitted)(to appear).
• [文献書誌] Koichi Kawada 他: "Additive representation in thin sequences, V : mixed problems of Waring's type"Math.Scaud.. 92. 181-209 (2003)