| 研究概要 |
有限群Gの標数p>0の代数的閉体F上の群環をFGとし,そのブロックをB,不足群をDとする.Bのカルタン行列をC_B=(c_<ij>)とし,C_BのPerron-Frobenius固有値をρ(B)とする.どのような場合にC_Bの固有値と単因子が一致するかについて考察することを研究目的とした.次の結果が得られた.
1.Gが有限表現型(すなわちDが巡回群のとき),またはtame(すなわちp=2でDがdihedral, geberalized quaternionまたはsemidihedral group)のとき,次は同値。
(1)C_Bの固有値と単因子が集合として(重複度をこめて)一致する.
(2)ρ(B)=|D|.をみたす.
(3)ρ(B)が整数になる.
またこのとき,BとBのBrauer対応子bとは森田同値となる.
2.Gがp-可解群のときは次は同値となる.
(1)C_Bの固有値と単因子が集合として(重複度をこめて)一致する.
(2)ρ(B)=|D|をみたす,
3.q=q(X_1,・・・,X_l)を任意の弱正定値2次形式とし,X_iX_jの係数をq_<ij>とするとき,不等式k(B)【less than or equal】q_<11>c_<11>+q_<12>c__<12>+・・・.+q_<ll>c_<ll>が成り立つ.ここでl=l(b), k(B)はそれぞれBに属する既約Bmuer指標,既約通常指標の個数とする.特にDynkin図形A_lに対応する正定値2次形式から得られる不等式(A_l)は,和田が既に得たものだった。さらに巡回不足群をもつブロック,R(q), J_1の主2-ブロックについては,上の不等式で等式が成り立つような正定値2次形式が必ず存在することを示した.
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