有限群のカルタン行列の固有値の整数性

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540012
• 研究機関: 東京農工大学
• 研究代表者: 和田 倶幸 東京農工大学, 工学部, 教授 (30134795)
• 研究分担者: 榎本 陽子 お茶の水女子大学, 理学部, 教授 (90151993) ; 清田 正夫 東京医科歯科大学, 教養部, 教授 (50214911) ; 山形 邦夫 東京農工大学, 工学部, 教授 (60015849) ; 福島 博 群馬大学, 教養学部, 教授 (30125869)
• キーワード: 有限群 / モジュラー表現 / ブロック / カルタン行列 / ペロン・フロベニウス固有値 / 単因子 / 森田同値 / ブラウアー対応

研究概要

有限群Gの標数p>0の代数的閉体F上の群環をFGとし,そのブロックをB,不足群をDとする.Bのカルタン行列をC_B=(c_<ij>)とし,C_BのPerron-Frobenius固有値をρ(B)とする.どのような場合ρ(B)が整数になるか,さらにどのような場合C_Bの固有値と単因子が一致するかなどについて考察することを研究目的とした.コンピュータを用いて膨大な実験をした結果,次が成り立つのではないかという予想を得た.
1.予想 C_Bの単因子全体の集合をEとする.C_Bの固有多項式f_B(x)=f_1(x)【triple bond】f_r(x)をZ-既約分解とする.各f_i(x)=0の根全体の集合をR_iとすると,次の(i),(ii),(iii)を満たすEのdisjointな分割E=E_1∪【triple bond】∪E_rが存在するのではないか.
(i)各iについて |R_i|=|E_i|.
(ii)R_i, E_iに含まれる固有値,単因子の積が一致する.
(iii)ρ(B)∈R_1とすると|D|∈E_1となっている.
次の場合この予想が正しいことを証明した.
2.定理 Bが有限表現型(すなわちDが巡回群のとき)で既約B-加群の個数l(B)が5以下のとき,またはBがtame(すなわちp=2でDがdihedral, generalized quaternionまたはsemidihedral groupのとき)のとき,予想は正しい.さらにこのときはρ(B)がf_1(x)=0の根のとき,degf_1【greater than or equal】degf_i for all iが成り立つ.さらに単純群でカルタン行列が知られている場合は予想が成り立つことを確かめた.

研究成果

• [文献書誌] A.Skowronski, K.Yamagata: "On invariability of self-injective algebras of tilted type under stable equivalences"Proc.Amer.Math.Soc.. 132・3. 659-667 (2004)
• [文献書誌] A.Skowronski, K.Yamagata: "On selfinjective Artin algebras having nonperiodic generalized standard Auslander-Reiton components"Colloquium Math.. 96・2. 235-244 (2003)
• [文献書誌] Y.Usami, M.Nakabayashi: "Morita equivalent principal 3-blocks of the Chevalley group G_2(q)"Proc.London Math.Soc.(3). 86・2. 397-434 (2003)
• [文献書誌] Y.Usami, M.Tanimoto: "On conjugacy classes of large subgroups of G_2(q)"Natur.Sci.Rep.Ochanomizu Univ.. 53・2. 1-20 (2002)
• [文献書誌] H.Fukushima: "M-groups of Fitting length three"Jour.Algebra. 268・1. 1-7 (2003)