| 研究概要 |
モデュラー関係式とゼータ関数の整数点での値の関係から出発した研究であったが,本年度も,昨年に引き続き,研究分担者金光滋氏,研究協力者塚田春雄,吉元昌己の各氏と研究を進めた.特に結晶のエネルギー状態を示すマデルング定数をエプシュタインゼータ関数の特殊値とみなし,エプシュタインゼータ関数が満たす様々な解析的性質から,各種結晶のマデルング定数の間の関係式を研究した.この研究は論文"Crystal Symmetry viewed as Zeta Symmetry"として近々出版されることになっている.またモデュラー関係式それ自体の拡張も,G-,H-関数などの特殊関数を用いて行なった.特に分岐型関数等式に付随する一般モデュラー関係式の理論を展開した.それは"A generalization of Bochner's formula"としてまとめた.
他のゼータ関数として,オイラー・ザギヤー型の多重ゼータ関数の特殊値の研究と,虚軸方向のオーダー評価を行なった.今年度はプルドニコフによる合成積の考えを,多重ゼータ関数,特に3重和の場合にも応用し,正の特殊値の間の関係式を導出した.従来は,シャッフル関係式,大野関係式が支配的であったが,我々の得た式はこれとは異なり,新しい可能性を示唆しているものと思われる.虚軸方向の評価については,2重ゼータ,3重ゼータの場合に指数対の理論を使って,石川-松本を大きく凌駕する結果を得ることができた.
数のべきの小数部分の分布は,大問題であり,現在ほとんど何もわかっていない.秋山氏との共同研究では,サレム数の場合にそのべきについて,それは一様分布ではないが,一様分布からどの程度隔たっているかを,定量的に調べた.
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