| 研究概要 |
研究実施計画の役割分担に従って,下記の研究成果を得た.
土基は非可換代数幾何学の立場からDixmier予想を研究した。その結果、まずp-曲率の理論を用いて、正標数ワイル環の環自己準同型がシンプレクティックアフィン空間の自己写像とどのように関係するかを解明した。続いて、超フィルターの理論を用いることにより、正標数の結果を標数0の結果に持ち込む方法を開発した。それらの仕事の結果、Dixmier予想はヤコビアン問題に帰着されることを示した。以上の成果は論文「Endomorphisms of Weyl algebra and p-curvatures」としてまとめられて、現在投稿中である。さらに土基は、非可換幾何学の研究中にCartier作用素の重要性に気づいた。この作用素の超フィルタによる極限を考えるという着想により、アフィン空間上のあたらしい「積分」の理論を構築することができ、ヤコビアン問題への大きなステップが得られることが分かった。この部分は今なお発展中である。
福間は偏極多様体(X,L)における不変量である断面種数とデルタ種数の一般化として,第i断面幾何種数g_i(X,L)と第iデルタ種数Δ_i(X,L)なるものを定義した.これらの性質をしらべた結果,Lの完備線形系|L|が基点を持たない場合,第i断面幾何種数と第iデルタ種数は,それぞれ断面種数やデルタ種数と似た性質をもつ事がわかってきた.さらに|L|が基点を持つ時にどの程度類似の性質を持つかについていくつか調べた.また(X,L)の不変量として第i断面H-算術種数_<X^H_i>(X,L)を定義した.i=2の時g_2(X,L)は曲面の幾何種数と,そして,_<X^H_2>(X,L)は曲面の(Hirzebruchの意味での)算術種数_X(O)と類似の性質をもつと期待できる,という考えのもと,曲面論で知られている諸定理を偏極多様体における類似の問題に一般化したものをいくつか提起した.そしてこれらに関して部分的成果を得た.
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