3次体とそれに付随する楕円曲線の数論

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540037
• 研究機関: 東京都立大学
• 研究代表者: 三宅 克哉 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (20023632)
• 研究分担者: 中村 博昭 岡山大学, 理学部, 教授 (60217883) ; 栗原 将人 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (40211221) ; 中村 憲 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (80110849) ; 松野 一夫 東京都立大学, 理学研究科, 助手 (40332936)
• キーワード: 3次体 / 3次巡回体 / generic polynomial / Mordell曲線 / 楕円曲線 / 3次twist / Fermat3次曲線

研究概要

1.研究代表者がかねてから検討しているモーデル曲線の1-パラメータ族
【numerical formula】
に対しては,c=-2/(27)の例外を除き, Mordell-Weil rankが必ず1以上であることを証明し,また,例外の場合はM.-W rankが0で,有限位数が2であることを示すとともに,その有理点を決定した.さらに,cがQ内で3乗数である場合に,4個の有理点を発見した.これらの独立性の検証は来年度の最重要課題である.
2.また,巡回3次体に対するgeneric polynomialを活用してモーデル曲線の新たな1-パラメータ族
【numerical formula】
を構成した.この曲線のQ-有理点の集合もパラメータsによって定まる巡回3次体の乗法群のある部分集合として記述された.これら二つのモーデル曲線の族は,対応する3次体の生成元の取り方に依存するため,例えば,M_2(s)は必ずしも自明な形でM_1(c)の部分族に対応するわけではない.しかしパラメータcが決定する3次体が巡回体である場合には,対応すべきパラメータsとの対応を決定し,特にcがQ内で3乗数である場合には対応するモーデル曲線同士がisogenousであることを示した.
3.この研究のその時点での主要結果を2002年9月にChennai(India)での国際研究集会で発表した.講演はこの研究集会の趣旨に合わせ,背景にある大問題Birch ＆ Swynarton-Dyer予想への序章としての問題の位置づけを中心に行った.さらに,数学的に踏み込んだ発表を2003年3月に早稲田大学理工学部における恒例の整数論シンポジウムにおいて行った.

研究成果

• [文献書誌] Katsuya Miyake: "Some Aspects on Intersections between Alg. N. Th. and Anal. N. Th."Tokyo Metropolitan Univ. Math. Preprint Series 2002. No.2. 1-36 (2002)
• [文献書誌] Katsuya Miyake: "Some Families of Mordell Curves assoc. to Cubic Fields"Tokyo Metropolitan Univ. Math. Preprint Series 2002. No.21. 1-14 (2002)
• [文献書誌] Ken Nakamula: "Packaging the CEM and Supporting 64-bit platforms on SIMATH"Tokyo Metropolitan Univ. Math. Preprint Series 2003. No.1. 1-10 (2003)
• [文献書誌] Masato Kurihara: "On the Tate Shafase vich groups over cyclotomic fields of an slliptic curve with supersingular reduction I"Invent. Math.. 149. 195-224 (2002)
• [文献書誌] Hiroaki Nakamura: "On explicit formula for l-adic polylogarithms Arithmetic fundamental groups and non-commutative algebra"Proc. Symposia Pure Math.. 70. 285-294 (2002)
• [文献書誌] Kazuo Matsuno: "Finite A-submodules of selmer groups of abelian varieties over cyclotomic Zp-extensions"Jour. Number Theory.