| 研究分担者 |
中村 憲 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (80110849)
栗原 将人 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (40211221)
徳永 浩雄 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (30211395)
松野 一夫 東京都立大学, 理学研究科, 助手 (40332936)
中野 伸 学習院大学, 理学部, 助教授 (40180327)
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| 研究概要 |
有理数体Q上の既約な3次式P(X):=X^3+aX^2+bX+cに対して3次曲線E:w^3=P(u)を考え,そのQ上の有理点全体(無限遠点を含む)をE[Q]とする.またξをP(ξ)=0を満たす複素数とし,W(ξ):={α=qξ+r|q,r∈Q,N_<Q(ξ)/Q>(α)=1}とすれば,W(ξ)からE[Q]への自然な全単射が構成される.このW(ξ)は,ξのアフィン変換ξ→sξ+t,s,t∈Q,s≠0,で不変であるので,Eは二つのMordell曲線y^2=x^3-2^43^3A^2,y^2=x^3-B^2(B+3), A,B∈Q,のいずれかとQ上で同型になる.前者はFermat曲線の純3次捻りX^3+Y^3+AZ^3=0のshort formであって古典的である.一方,後者については,B=-4または-8/3以外なら,Mordell-Weil rankは正であることが示され,さらにその部分族でrankが2以上になるものも3次体Q(ξ)との関連から構成されている.
また,P(X)が生成的な3次巡回多項式である場合にそのshort formも考察され,さらに,W(ξ)に注目してHilbertの定理90から得られる楕円曲線とのQ上の同形写像が構成された.前年度までに得られていた3次対称群の生成的多項式P(X):=X^3+X^2+cの場合とP(X):=X^3+bX+bとの比較により,対応するMordell曲線に関しては,前者のものが後者のものの真の部分族に対応していることが明らかになった.これは対応するMordell曲線の族は3次体そのものではなく,多項式P(X)に強く依存していることを明示している.
内外での研究集会において,今年度も成果の発表が活発に行われた.さらに海外から研究者を招聘して情報をいち早く収集するとともに,研究課題を歴史的にも検討し,関連する諸分野との繋がりと広がりのなかにその位置づけを与えた.
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