| 研究概要 |
aを自然数、pを素数とするとき、我々はaのpを法とする剰余位数の分布を調べるため、Q (x ; s, t)={P≦x ; aの剰余位数≡s (mod t)}という素数集合を導入し、この自然密度を考察してきた。前年度までの研究により、t=4の場合、任意のsに対して自然密度を決定することができ、それは一般には(s=0,1,2,3に応じて)1/3,1/6,1/3,1/6というきれいな分布になっていることが分かった(一般リーマン予想を仮定する。またaが特殊な条件を満たすときはこの分布状態から少しずれることも分かっている)。今年度は一般のtに対してもこうした現象が見られるかどうかを調べた。現時点で結果が得られているのはt=q^r(qは奇素数)の場合である。
t=4の場合同様、一般リーマン予想を仮定すると自然密度を求めることができる、確かに剰余位数は剰余類によってかなり大幅に分布状態が異なることが分かる。ただtが大きくなると分布状態は非常に複雑になる。t=5の場合の密度を正確に計算してみると、四つの絶対定数が現われ(内二つは複素数)、この組み合わせによって密度が得られていることが分かった(以上、知念氏との共同研究)。
剰余指数については、北岡氏が原始根に関するArtin予想の際に使われたHooleyの方法を用いて、代数体の単数の分布を調べている。
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