代数多様体の基本群

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540053
• 研究機関: 北海道大学
• 研究代表者: 島田 伊知朗 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (10235616)
• 研究分担者: 岡 睦雄 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40011697) ; 石川 剛郎 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50176161) ; 泉屋 周一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80127422) ; 寺杣 友秀 東京大学, 数理科学研究科, 助教授 (50192654) ; 徳永 浩雄 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30211395)
• キーワード: 代数多様体 / 特異点 / 基本群 / K3曲面 / 6次曲線

研究概要

射影空間内のFano完全交叉上の代数的サイクルの族に付随するシリンダー写像の像が消失サイクルを含むかどうかを,グレブナー基底を用いて判定する方法を求めた.この判定法を計算機の上で走らせて,いくつかのFano完全交叉に対し一般Hodge予想を証明した.代数的サイクルに関する一連の標準予想に計算機を用いてアプローチし自明でない結果を得るということは,世界的にみてもこの仕事以外には知られていないようである.射影空間内のFano完全交叉以外の代数多様体に対する一般化を孝察した.
標数2の任意の超特異K3曲面は射影平面の純非分離な2重被覆として構成される.超特異K3曲面のネロン-セヴェリ群と射影平面の純非分離2重被覆に現れる特異点の位置を関係づけることにより,標数2の超特異K3曲面のモヂュライ空間上のArtin不変量によるstratificationの構造を解明した.すくなくとも191個のstrataがあり,各strataには長さ21の線形符号で重み多項式がある性質を満たすものが対応する.さらに有限体上定義された超特異K3曲面が射影平面の純非分離な2重被覆としてあたえられたとき,この超特異K3曲面がどの線形符号に対応するかを調べるプログラムを書いた.このプログラムにより,与えられた超特異K3曲面のネロン-セヴェリ群の生成元を具体的に求めることが可能になる.
我々は昨年度,定符号の格子のなかで与えられたノルムをもつベクトルの個数を求めるC言語のプログラムを書いた.今年度は,文字式も扱えるようにこのプログラムのMaple versionを書き,その応用として標数が奇素数の体の上の任意の超特異K3曲面は射影平面の分離2重被覆として表せることを示した.

研究成果

• [文献書誌] Ichiro Shimada: "The fundamental group of the complement of a resultant hypersurface"Pacific J.Math.. 210. 351-357 (2003)
• [文献書誌] Ichiro Shimada: "Fundamental groups of algebraic fiber spaces"Comment.Math.Helv.. 78. 335-362 (2003)
• [文献書誌] Ichiro Shimada: "On the Zariski-van Kampen theorem"Canad.J.Math.. 55. 133-156 (2003)
• [文献書誌] Ichiro Shimada: "Zariski hyperplane section theorem for Grassmannian varieties"Canad.J.Math.. 55. 157-180 (2003)
• [文献書誌] Ichiro Shimada: "Rational double points on supersingular K3 surfaces"Math.Comp.. (発表予定).
• [文献書誌] Ichiro Shimada: "Vanishing cycles, the generalized Hodge Conjecture and Grobner bases"Banach Center Publ.. (発表予定).