| 研究概要 |
山田は、庵原、寺島(神戸大学)との共同研究により、単純特異点とパンルベ方程式の初期値空間更にパンルベ方程式の持つ対称性との関係を明らかにしつつ有る。実際、単純特異点の特異点同時解消空間Xが、初期値空間の開部分多様体となっており、Springer表現に表れるX上への有限ワイル群の作用が、パンルベ方程式に表れるベックルント変換の一部(足りないのは、平行移動分のみ)となっていることを、山田-庵原-寺島は、明らかにした。このことは、何故、リー環に表れるワイル群が、パンルベ方程式の対称性として表れるか説明する新たな知見を与えている。
また、パンルベ方程式のモノドロミー多様体に関しても新たなリー群論的構成が、山田-庵原-寺島によって成された。すなわち、単純リー群GからH/Wへの随伴商写像を考え、特異点の構造を調べると、GがA_1,A_2,A_3,D_4場合パンルベ方程式のモノドロミー空間に一致することを明らかにした。また、その系としてモノドロミー空間の特異点同時解消が得られる。
フローケ理論によれば、S^1上の微分方程式とそのモノドロミー対応として、アファインリー環と有限次元リー群の対応がある。この対応を用いることにより、パンルベ方程式の初期値空間と対称性が説明できると確信するが、今後の課題である。
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