| 研究概要 |
山田-庵原-寺島は、中心拡大が2-次元である楕円型リー環の商環から出発し、自然にSL(2,Z)、楕円型Weyl群が作用する空間Pを構成した。この空間は、g(E)を楕円曲線E上のG-値の関数全体の成す無限次元Lie環とする時,g(E)上のC^*-バンドルに同型である。さて,この空間には、doubleループ群が作用し、それに関する随伴軌道が、正則ループ群の中心拡大の共役類と1:1に対応している。即ち、Slodowy-helmkeの理論に従えば、空間Pを用いて単純楕円特異点が構成できるはずである。ところが、特異点は不安定正則ベクトルバンドルに対応しており、この事を接続の言葉で表さなければならない。Loop群に於いては、Atiyah-Bott pointの言葉で表現できる事は解っているが、楕円型Lie環の言葉ではまだ解っていない。
さて、上記で構成したSL(2,Z)、楕円型Weyl群の作用をCartan部分群に制限すると、Maninn, Levin達がPainleve方程式の研究で用いた作用に一致する事が解った。この事は、楕円型単純特異点とPainleve方程式との何らかの関係を示唆しており、今後の研究テーマである。
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