| 研究課題/領域番号 |
14540063
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
幾何学
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
丸山 研一 千葉大学, 教育学部, 助教授 (70173961)
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| 研究分担者 |
越川 浩明 千葉大学, 教育学部, 教授 (60000866)
山内 憲一 千葉大学, 教育学部, 教授 (20009690)
築山 耕三 島根大学, 教育学部, 教授 (20093651)
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| 研究期間 (年度) |
2002 – 2004
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| キーワード | 代数的位相幾何学 / ホモトピー論 / ホモトピー類 / 自己同型群 / 冪零群 |
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| 研究概要 |
空間の間の写像のホモトピー類はしばしば代数的な構造を持つ。それらを調べることで空間の位相幾何的な性質を理解できることが多々ある。ホモトピー群や(コ)ホモロジー群などはその代表である。これらは位相幾何学の強力な道具であることは論を待たないところである。
本研究では定義域と値域が同じ空間である場合に絞って考察を深めることとした。すなわち自己写像のホモトピー類の研究である。この場合はどのような空間であっても、写像類は結合が誘導する代数的な構造すなわちモノイドと呼ばれる代数的な対象となる。結合の様子を調べることは球面のホモトピー群の決定においての過程をみれば明らかなようにホモトピー論では極めて重要なものである。本研究では大きく分けて2つの対象を研究した。1つはホモトピー群に自明な準同型を誘導する写像の代表するものからなる半群。他の1つは自己ホモトピー同値からなる群である。前については単連結空間のとき冪零であることが分かっている。ここでは階数2のリー群とホップ空間についてその冪零性を完全に決定した。更にこの冪零半群に付随して得られるフィルとレーションの安定性sz(X)や長さlz(X)という不変量を定義し、コンパクトリー群の場合にこれらを研究した。
自己ホモトピー同値群は一般に非可換であり、冪零群でもないが、ホモトピー群に付随した自然な部分群は冪零群となる。冪零群は可換群の有する良い性質を受け継いでおり、特に局所化理論が存在することが知られている。我々は冪零群論で得られたこの様な純代数的な結果を幾何学的、ホモトピー論的な立場で捉え直し、幾つかの基本的な定理として確立することができた。今後のこの方面の研究での萌芽となるものと思われる。
分担者もそれぞれの専門的な立場から研究を進め、成果を得た。
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