| 研究概要 |
我々は,複素平面上のある種の図形である稲妻対というものを考え,その稲妻対からdipoleを持つリーマン面を構成する方法を利用して,リーマン面のモジュライ空間の位相的な性質を明らかにしていくことを目的として研究を進めている.
リーマン面上のdipoleは,第2種アーベル微分の特別なものであるが,アーベル微分の2回テンソル積をとると,リーマン面上の2次微分になる.リーマン面上の2次微分の研究はStrebelにより,2次微分から得られる特異点付き計量を通して研究されている.Strebelは,長さ無限大の水平測地線が存在しないように2次微分の変形を行うことを考えているが,我々の「深度なし」の稲妻対の理論は,アーベル微分の零点を結ぶ水平測地線がないように微分を変形することを考えるものであり,Strebelの考え方を利用して,一般の第2種アーベル微分に対しても理論が拡張できることがわかった.
また,稲妻対はリーマン面上のある種のグラフを与えることになるが,そのようなものの高次元化の1つとして,Haefliger knotというものがある.これは,可微分カテゴリーで考える余次元が3以上の結び目であり,PLカテゴリーで考える高次元knotとは大きく状況が異なってくる.我々は,特にその最も基本的な次元対である「6次元球面の中の3次元球面」の状況を考え,その結び目解消数を完全に決定することに成功した.
一方,もっとも基本的なリーマン面である2次元球面に関連して,2次元球面上の3次元球面束上に,5次元Ads Kerrブラックホールの2つの地平線を近づけrescaleして極限をとることにより,加算無限個の新しいEinstein計量を構成することにも成功した.また,Killingベクトル場のツイストにより,Gauntlettたちにより構成されたコンパクトな佐々木-Einstein多様体を再構成することも行った.
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