| 研究概要 |
研究目的の一つである,位相空間から生成された自由位相群の位相的構造において次のような進展が得られた.自由位相群の位相構造はとても複雑であるが,自由位相群の位相構造の研究が始められた1940年代から,各自然数nに対し,自然な写像i_nが商写像になるのはXがどんな空間のときか,という自由位相群のトポロジーに関する重要で非常に難しい問題が出されていた.この問題に関して,Xが距離空間の場合においては,自由位相群,自由可換位相群いずれの場合においても,各i_nが商写像になるための空間Xの分類をすることができた.
一方,距離空間上で定義された関数における研究で次のような成果が得られた.距離空間X上で定義された実数値関数fおいて,F_1,F_2,【triple bond】,F_nをXの有限閉被覆とするとき,各F_i上でfが連続ならばfはX上においても連続になることはよく知られている.しかしながらfがX上で連続であり,各F_i上で一様連続であっても,fは一般にX上で一様連続とはならない.そこで最近、距離空間Xにおいて、任意の連続実数値関数fと任意の有限閉被覆{F_1,F_2,【triple bond】,F_n}においてfが各F_i上で一様連続であればX上でも一様連続となる空間が,straight空間として定義された.実数直線や区間等はstraight空間であり,有理数全体からなる空間,区間からその内点を一点除いた空間などはstraight空間ではないことは知られているが,まだ身近な空間でstraight空間になるかどうかが判定できないものもいくつかある.今回の研究では,これまで判定できなかったいくつかの空間を判定することに成功し,さらにコンパクト距離空間をstraight空間と収束点列との積空間を用いて特徴づけることができた.
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