種々の幾何構造をもつ低次元多様体の研究

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540076
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 上 正明 京都大学, 総合人間学部, 助教授 (80134443)
• 研究分担者: 藤井 道彦 京都大学, 総合人間学部, 助教授 (60254231) ; 今西 英器 京都大学, 総合人間学部, 教授 (90025411) ; 加藤 信一 京都大学, 総合人間学部, 教授 (90114438) ; 宇敷 重廣 京都大学, 大学院・人間・環境学研究科, 教授 (10093197) ; 森本 芳則 京都大学, 総合人間学部, 教授 (30115646)
• キーワード: 3次元多様体 / 4次元多様体 / スピン構造 / Seiberg-Witten理論 / V多様体 / 双曲多様体 / 錐多様体 / 葉層構造

研究概要

研究代表者の上は3, 4次元多様体の幾何構造の存在がもたらす微分同相類への制限を種々の不変量,特にSeiberg-Witten理論に由来する不変量に関する研究を継続した.以前に4次元V多様体の孤立特異点からのディラック作用素の指数に対する寄与を決定した.この値は3次元球面多様体とその上のスピン構造の組に対する整数値の不変量であり球面多様体とスピン構造に対して定まる古典的なRochlin不変量(16を法として定まる)の整数値への持ち上げを標準的な方法で与えるものとなっている.以前これを4次元多様体に応用したが,これに加えて結び目のデーン手術で3次元球面多様体が得られた場合,その球面多様体のタイプに関し上記の不変量により制約が得られること,さらに共通の結び目の複数のデーン手術で球面多様体が得られた場合のそれらの多様体の不変量の相互関係についての結果を得た.これらの結果は特に双曲結び目のデーン手術で得られる基本群有限の多様体に関するBoyer-Zhangの有限性定理とつきあわせることで新たな情報をもたらす.また研究分担者の藤井は3次元双曲錐多様体の特異点集合の近傍での調和ベクトル場が、代数解析の技術を用いることによって、ガウスの超幾何函数で表示できることを証明した。このことから、3次元双曲錐多様体の局所変形が具体的にガウスの超幾何函数で記述できることが分かった。また今西は区間のLipschitz同相写像の群に関する様々な結果を用いて,福井克彦と共同で微分可能な余次元1葉層を保つLipschitz同相写像の作る群の1次元コホモロジーを決定した。

研究成果

• [文献書誌] 藤井道彦: "An expression of harmonic vector-fields of hyperbolic 3-cone-manifolds in terms of the hypergeometric functions"Surikaisekikenkyushokokyuroku. 1270巻. 112-125 (2002)
• [文献書誌] 藤井道彦: "An algorithm for solving linear ordinary differential equations of Fuchsian type with three singular points"Interdisciplinary Information Science. 9巻・1号(未定). (2003)
• [文献書誌] 加藤信一: "Whittaker-Shintani functions for orthogonal groups"Tohoku J. Math.. 55巻・1号. 1-64 (2003)
• [文献書誌] 森本芳則: "Wick calculus and the Cauchy problem for some dispersive equatios"Osaka J. Math. 39-1 (2002)
• [文献書誌] 河野敬雄: "Nash equilibria of randomly stopped repeated prisoner's dilemma"ICM2002GTA. 363-367 (2002)
• [文献書誌] 森本芳則: "Logarithmic Sobolev inequality and semi-linear Dirichiet problems for infinitely degenerate elliptic operators"Ast erisque Special Vol. in honor of Michel Bony. (未定). 245-264 (2003)