種々の幾何構造をもつ低次元多様体の研究

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540076
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 上 正明 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (80134443)
• 研究分担者: 河野 敬雄 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90028134) ; 今西 英器 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90025411) ; 加藤 信一 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90114438) ; 藤井 道彦 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60254231) ; 西和田 公正 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60093291)
• キーワード: 3次元多様体 / 4次元多様体 / スピン構造 / ディラック作用素 / デーン手術 / Seiberg-Witten理論 / V多様体 / 錐多様体

研究概要

研究代表者の上は3,4次元多様体の幾何構造の存在がもたらす微分同相類への制限を種々の不変量,特にSeiberg-Witten理論に由来する不変量に関する研究を継続した.以前に決定した4次元V多様体の孤立特異点からのディラック作用素の指数に対する寄与は3次元球面多様体とその上のスピン構造の組に対する整数値の不変量であり古典的なRochlin不変量(16を法として定まる)の整数値への持ち上げを標準的な方法で与えるものとなっているのみならず,Neumann-Siebenmann不変量と呼ばれる不変量と球面多様体の場合に一致する.結び目のデーン手術で3次元球面多様体が得られた場合,その球面多様体のタイプに関し上記の不変量により制約が得られること,さらに共通の結び目の複数のデーン手術で球面多様体が得られた場合のそれらの多様体の不変量の相互関係についての結果を得た.さらにこの手法を拡張し,より一般のザイフェルト3次元多様体が3次元球面の結び目の手術で得られるための必要条件をNeumann-Siebenmann不変量によって記述した.近年結び目の手術で得られるザイフェルト多様体のタイプに対しOzsvath-SzaboのFloerホモロジーを使った制約などが得られており,Floerホモロジーと上記の不変量との関連を探ることが次の課題となっている.
また研究分担者の藤井は3次元双曲錐多様体の局所変形を具体的にガウスの超幾何函数で記述し,この方面の研究を継続した.また今西は区間のLipschitz同相写像の群に関する様々な結果を用いた微分可能な余次元1葉層を保つLipschitz同相写像の作る群のコホモロジーの研究を継続した.

研究成果

• [文献書誌] 藤井 道彦: "An Algorithm for Solving Linear Ordinary Differential Equations of Fuchsian Type with Three Singular Points"Interdisciplinary Information Sciences. 9・1. 189-200 (2003)
• [文献書誌] 加藤 信一: "WHITTAKER-SHINTANI FUNCTIONS FOR ORTHOGONAL GROUPS"Tohoku Math.J.. 55・1. 1-64 (2003)
• [文献書誌] 森本 芳則: "Logarithmic Sobolev inequality and semi-linear Dirichlet problems for infinitely degenerate elliptic operators"Asterisque. 284. 245-264 (2003)
• [文献書誌] 西和田 公正: "ガラスの算術幾何平均をめぐって"津田塾大学数学・計算機科学研究所報. 24. 59-70 (2003)
• [文献書誌] Michihio Fujii: "Deformations of hyperbolic cone-manifolds and the confluence of singular points of ordinary differential equations of Fuchsian type"Surikaisekikenkyusho Kokyuroku. 1329. 102-108 (2003)