リーマン多様体の部分多様体の曲率構造と位相構造の研究

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540085
• 研究機関: 佐賀大学
• 研究代表者: 成 慶明 佐賀大学, 理工学部, 教授 (50274577)
• 研究分担者: 河合 茂生 佐賀大学, 文化教育学部, 教授 (30186043) ; 石川 晋 佐賀大学, 理工学部, 教授 (10039258) ; 塩浜 勝博 佐賀大学, 理工学部, 教授 (20016059) ; 猿子 幸弘 佐賀大学, 理工学部, 講師 (00315178) ; 松添 博 佐賀大学, 理工学部, 助教授 (90315177)
• キーワード: constant mean curvature / sphere / complete hypersuface / scalar curvature / sectional curvature / fundamental group / first eigen value of p-Laplacian

研究概要

研究代表者は球面内のコンパクト超曲面の曲率構造と位相構造を研究した。これにより、球面内の無限基本群を持つ非負断面曲率でコンパクト超曲面はリーマン積多様体であることが得られた。更に、断面曲率より弱いスカラー曲率のある種不等式を満たす球面内の無限基本群を持つコンパクト超曲面に対して、同様な結果も証明した。基本群の条件を用いて、球面内のコンパクト超曲面の曲率構造と位相構造を研究する方法はこれまで見たことがない新しい研究手法であるので、この方向の研究に対して大きな影響を与えたと思われる。研究代表者と韓国の幾何学の研究をリードする代表者Suh Y.J.氏らの共同研究で、ある種曲率の条件を満たす局所対称Lorentz空間内の平均曲率が一定の完備space-like超曲面を研究し、このような超曲面の第二基本形式の長さの自乗の最適な評価が得られた。更に、このようなLorentz空間内のtotally umbilical超曲面の特徴が与えられた。この研究の分担者河合氏はリーマン多様体のp-Laplace作用素の第一固有値を研究し、とても良い結果を得た。

研究成果

• [文献書誌] Kawai Shigeo: "The first eigenvalue of the p-Laplacian on a compact Riemannian manifold"Nonlinear Anal.. 55. 33-46 (2003)
• [文献書誌] Qing-Ming Cheng: "compact hypersurfaces in a unit sphere with infinite fundamental group"Pacific J.Math.. 212. 49-56 (2003)
• [文献書誌] J.O.Baek: "Complete spacelike hypersurfaces in locally symmetric Lorentz spaces"J.Geom.and Phy.. 49. 231-247 (2004)
• [文献書誌] Qing-Ming Cheng: "Complete submanifolds in Euclidean spaces"Proceedings of the Seventh International Workshopon Differential Geometry, Kyungpook National University. 7. 17-27 (2003)
• [文献書誌] Qing-Ming Cheng: "Curvatures of complete hypersurfaces in space forms"Proc.Royal Society Edinburgh. 134A. (2004)
• [文献書誌] Shiohama, Katsuhiro: "The meometry of total curvature on complete open surfaces"Cambridge University Press. 284 (2003)