研究課題
基盤研究(C)
離散幾何学分野における本研究では平面上に配置された点集合を頂点とし、それらを結ぶ直線を辺とする幾何グラフを研究した。とくに2色の点集合から構成される幾何グラフとしての木の辺交差数に関する結果の3色の場合への拡張をはかり、良い評価を与えた。グラフ論分野においては6-可縮臨界グラフの次数6の頂点の分布に関する研究に引き続き、7-可縮臨界グラフを調べ、7-可縮臨界グラフでは少なくともその1/64の頂点が次数7であることを示した。木の頂点に隣接する葉の数をその頂点の葉次数とよび、葉次数の最大値をその木の最大葉次数と呼ぶ。与えられた整数を超えない最大葉次数の全域木がグラフに存在するための必要十分条件を求めた。グラフとその補グラフがともにk-可縮臨界グラフならばその頂点数の2乗はkの3乗で押さえられることを示し、この評価が最良であることを示すグラフの構成に成功した。連結度が5のグラフにおいて次数5の頂点の近傍は自明な切断点集合と呼ばれ、自明な切断点集合に両端点が含まれる辺を自明な非可縮辺と呼ぶ。可縮臨界5-連結グラフは頂点数の1/2の辺が自明な非可縮辺を含むことを示した。この事実を示す過程で可縮臨界5-連結グラフにおける自明でない非可縮辺の存在とある特定の部分グラフの存在との間の関係を見い出した。これは自明でない非可縮辺を持つ可縮臨界5-連結グラフの部分構造の特徴付けの基礎をなすものと考えられる。さらに4-正則4-連結グラフは三角形に含まれない辺の数の1/2の4-可縮辺を含むことを示した。4-連結グラフの次数5以上の頂点xの近傍の次数4の頂点の誘導する部分グラフがP_4と同型でなければ、xから距離1以内に4-可縮辺が少なくとも2本存在することを示した。擬確率的手法を用いて規模の大きいグラフはわずかの部分を除いて規則的部分グラフで覆えることを示した。これは現在まで知られているAlon-Yusterの定理を含む結果である。
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