| 研究課題/領域番号 |
14540127
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
数学一般(含確率論・統計数学)
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| 研究機関 | 佐賀大学 |
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研究代表者 |
上原 健 佐賀大学, 理工学部, 教授 (80093970)
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| 研究分担者 |
寺井 直樹 佐賀大学, 文化教育学部, 助教授 (90259862)
市川 尚志 佐賀大学, 理工学部, 教授 (20201923)
中原 徹 佐賀大学, 理工学部, 教授 (50039278)
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| 研究期間 (年度) |
2002 – 2003
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| キーワード | 代数関数体 / 代数幾何符号 / 符号の最小距離 / 整数還の基本単数 / タイヒミュラー基本亜群 / モノドロミー表現 / チャウ多様体 / 極小自由分解 |
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| 研究概要 |
代数関数体を用いて構成される誤り訂正符号である代数幾何符号の研究と、代数的整数論、数論的代数幾何学、代数幾何学、代数的組合せ理論のそれぞれの分野での関連する研究を行った。研究目的は、代数幾何符号を具体的に構成し、その符号の誤り訂正能力を測る重要な量である最小距離を特定することである。
符号構成と最小距離特定の研究では、初年度に、一点代数幾何符号と呼ばれるタイプの代数幾何符号について、符号Cの最小距離d(C)の特定を行った。詳しく言えば、一点代数幾何符号Cがある条件を満たせばd(C)がそのFeng-Rao下限d'(C)に一致することを証明した。2年目には、一点型以外の代数幾何符号構成し、そのFeng-Rao下限を計算した。その結果、Feng-Rao下限が一点型に比較して大きい符号が存在することを発見した。
代数的整数論の研究では、低次代数体、特にクンマー型のアーベル4次体の類数及び単数群の構造を解明した。また、アーベル8次体のについて、整数環が巾底を持つかどうかという問題を研究した。
数論的代数幾何の研究では、タイヒミュラー基本亜群の数論幾何的な構成を行い、タイヒミュラー基本亜群に関するガロア作用と(共形場理論に付随して定まる)モノドロミー表現の記述を与えた。アーベル多様体内の既約な代数曲線が楕円曲線と同型でないとき、その代数的点の集合がネロン・テイト高さに関して一様に疎に分布すること(ボゴモロフ予想)を証明した。
代数幾何学の研究では、n次元射影空間におけるd-1次サイクルの作るチャウ多様体の次数を評価する問題に関して、射影的不変量である終結式と関係するヒルベルト多項式との関連を調べた。
代数的組合せ理論については、単体的複体に対応するスタンレー・ライスナー環の極小自由分解について研究した。特に、線形分解を持つブックスバウム・スタンレー・ライスナー環のただ一つある非消滅ホモロジー群の次元の上限を与えた。
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