| 研究概要 |
発展方程式の数値解を求めていく上で,誤差による解の構造の変化を明らかにし,信頼性の高いスキームの構築を行うことを目的に,反復計算における解の収束する上で判断すべき条件の設定や,収束速度の高速化についての考察を行った.特に本研究では,現在まで試みられてこなかった,ランダムな様式での誤差の流入に対して,数値解の構造がどのように変化するかについて,定量的な議論を確率論的な立場と数値実験的な立場の両面から明らかにすることを試みた.またその中で,反復過程における収束段階で移入する誤差の数値解の構造に与える影響を明らかにする試みを行った.特に大規模な数値シミュレーションでは不可欠の並列分散環境での連立一次方程式の効率的な新しい解法の開発にも取り組んだ.さらに,それらを現実の流体計算や交通流問題に適用し,数理物理的な現象の解析を行った.
まず複雑系がもつ局所的,および大域的な構造を視覚化することによって複雑系に内在する,一見同じように複雑に見える数値解の本質的な構造を数値的な立場から明らかにして解の信頼性の判定を行う手法を確立した.さらにその手法を基にして,離散化パラメータによる構造不安定性を明らかにするとともに,実際の流体シミュレーションでも同様の構造不安定性が生じることを明らかにした.また,確率微分方程式の数値解を解析することによって,不動点や周期解の安定性に対する誤差項の大きさの依存性を明らかにし,決定論とは異なる観点からリアプノフ指数による安定解の構造についての新たな知見を得た.また,その結果を実際の流体シミュレーションにおける反復解法の収束条件の依存性という形で実証した.一方,大規模計算における反復解法の高速化に関しては,領域分割された場合のSOR法における境界領域での緩和係数の選択の仕方に関する新たな知見を得た.
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