| 研究概要 |
本研究は絡み目やグラフの位相不変量について,それらを計算の理論の観点から研究し,実際に計算するための効率的なアルゴリズムを開発することが目的である.
本研究の主な成果は以下の通りである.
1.(平成14年度)任意のArborescent絡み目のダイアグラムに対して,そのKauffmanブラケット多項式(Jones多項式)はそのダイアグラムの交点数の3乗のオーダーの時間で計算できることを示した.
2.(平成15年度)Hass-Lagarias-Pippengerは結び目理論における多くの判定問題について計算量の解析を行ったが,その中で,結び目の自明性判定問題と絡み目の分離性判定問題がNPに含まれると種数判定問題がPSAPCEに含まれることを証明した.Algo-Hass-Thurstonはさらに一般的な3次元多様体内の結び目の種数判定問題がNP-完全であることを証明した.この問題は3次元多様体とその中の結び目と非負の整数を与えたとき結び目が多様体内でその種数の有向曲面の境界となるかを判定する問題であり,多様体を球面とすると先の種数判定問題となる.本研究において,自明性判定問題がAM ∩ co-AMに含まれることを証明した.
3.(平成15年度)2橋絡み目と閉3-ブレイド絡み目に対して,それらの整数列表現からJones多項式を線形回の多項式演算で決定するアルゴリズムを開発した.
4.(平成16年度)2橋絡み目と閉3-ブレイド絡み目に対して,そのTaitグラフから整数列表現を得る線形時間アルゴリズムを開発した.このことから,2橋絡み目と閉3-ブレイド絡み目のJones多項式をそれらのTaitグラフからO(n2logn)時間で決定できることが示した.
5.(平成16年度)Montesinos絡み目に対して,そのJones多項式をその標準的ダイアグラムに対応する整数列のリストから線形回数の多項式演算で決定するアルゴリズムを提案した.
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