非線形楕円型及び放物型偏微分方程式の理論と応用

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540148
• 研究機関: 東北大学
• 研究代表者: 有澤 真理子 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (50312632)
• 研究分担者: 柳田 英二 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80174548) ; 儀我 美一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70144110) ; 浦川 肇 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (50022679) ; 石井 仁司 早稲田大学, 教育学部, 教授 (70102887) ; 長澤 壮之 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70202223)
• キーワード: 非線形退化楕円型方程式の解の平滑性 / 非線形熱方程式の解の安定性 / ショックの現れる非線形一階偏微分方程式の解の存在と一意性 / ハミルトンャコビベルマン方程式の数理ファイナンスへの応用 / 界面の発展方程式 / 変分法の数理生物学への応用 / 非線形偏微分方程式の数値解析 / 確率解析と非線形偏微分方程式の関わり

研究概要

1.非線形放物型偏微分方程式:筆者は、保存則の変形版である一階偏微分方程式のクラスの解について、ショックの生じる場合と、平滑化が生じる場合の研究をし数値実験を行った。(P.-L. Lionsと共同研究)これは、儀我が導入した適切粘性解に基ずいている。来年度は、この数値実験について数学的解析を行う予定である。儀我は、結晶成長モデルを表す非等方的曲面の発展方程式の諸結果を得た。石井と三上は、ガウス曲率流方程式について結果を得た。半線型方程式について、柳田は式がべき乗を含む場合の解の安定性及び複雑な解の振る舞いを研究し、長澤は数理生物に現れる極小曲面の問題を変分法を用いて解析した。中村は、関数空間論を用いて解の存在及び、一意性の研究をした。
2.非線形楕円型偏微分方程式:筆者は、2階退化楕円型偏微分方程式の解の平滑性を、粘性解理論を用いて導いた。小池は、粘性解理論を可測係数の場合に拡張した理論を発展させた。
3.確率論との関係:筆者は、ホモジェニゼィションとエルゴード性の関係について知見を深め問題収集した。三上は、質量輸送方程式の最適制御関数を解析した。筆者と関根は、数理ファィナンスに現れる自由境界問題とホモジェニゼイションの関係を抽出した。小池は、粘性解理論を用いて数理ファイナンスの最適制御を構成した。
4.幾何との関係:浦川は、グラフ理論と固有値問題の関係を研究した。
5.その他:筆者は、偏微分方程式の数値解析についての情報収集を開始し、京都大学数理解析研究所での粘性解とその応用に関する研究集会にローマ大学のM.Falcone教授を招聘した。また、稲盛財団からの助成を受け、パリ第9大学に滞在し、その間以上の研究と情報収集に努めた。

研究成果

• [文献書誌] Mariko Arisawa: "Long time average reflection force and homogenization of oscillating Neumann boundary conditions"Annales de l Institut Henri Poincare/Analyse non linesire. vol20/2. 293-332 (2003)
• [文献書誌] Mariko Arisawa: "Some regularity results for a class of fully nonlinear degenerate elliptic second order partial differential equations"京都大学数理解析研究所講究録. (発表予定).
• [文献書誌] Hajime Urakawa: "The Dirichiet eigenvalue problem, the finite element method and graph theory"Contemporary Mathematics, Amer. Math. Soc., 2003. (発表予定).
• [文献書誌] Hajime Urakawa: "The Cheeger constant, the heat kernel and the Green kernel of an infinite graph"Monatshefte fur Mathematik, 2003. (発表予定).
• [文献書誌] Eiji Yanagida, P.Polacik: "Stable subharmonic solutions of reaction-diffusion equations on an arbitrary domain"Disc. Cont. Dyn. Systems. 8. 209-218 (2002)
• [文献書誌] Eiji Yanagida: "Mini-maximizers in reaction-diffusion systems with skew-gradient structure"Journal of Differential Equations. 179. 311-335 (2002)
• [文献書誌] Nagasawa, T., K.Nakane, S.Omata: "Numerical computations for motion of vortices governed by a hyperbolic Ginzburg-Landau system"Nonlinear Analysis. 51・1. 67-77 (2002)
• [文献書誌] Nagawawa, T., I.Takagi: "Bifurcating critical points of bending energy with constraints related to the shape of red blood cell"Cal. Var. Partial Differential Equations. 16・1. 36-111 (2003)
• [文献書誌] Yoshikazu Giga, Y.Thai, S.Osher: "A level set approach for computing discontinuous solutions of a class of Hamilton-Jacobi equations"Math. Comp. (発表予定).
• [文献書誌] Yoshikazu Giga, J. Escher, K. Ito: "On a limiting motion and self-intersections for the intermediate surface duffusion flow"J. of Evolution Equations. 2. 349-364 (2002)
• [文献書誌] Hitoshi Ishii, T. Mikami: "A two-dimensional random crystalline algorithm for Gauss curvature flow"Adv. in Appl. Probab. 34・3. 491-504 (2002)
• [文献書誌] Hitoshi Ishii, P.Loreti: "A class of stochastic optimal control problems with state constraint"Indiana Univ. Math. J. 51・5. 1169-1198 (2002)
• [文献書誌] Shigeaki Koike, H. Morimoto: "On variational inequalities for leavable boundary-velocity control"Applied Mathematics and Optimization. (発表予定).
• [文献書誌] Shigeaki Koike, A. Swiech: "Maximum principle and existence of$L^p$-viscosity solutions for fully nonlinear uniformly elliptic equations with measurable and quadratic terms"Nonlinear Differential Equations and Applications. (発表予定).
• [文献書誌] Toshio.Mikami: "A uniqueness result on Cauchy problem related to jump-type Markov processes with unbounded characteristics"Stoc. Anal. Appl. 20・2. 389-413 (2002)
• [文献書誌] Toshlo Mikami: "Optimal control for absolutely continuous stochastic processes and the mass transportation problem"Elect. Comm. in Probab.. 7. 189-203