| 研究概要 |
以下、リーマン面と言えば種数2以上のコンパクトリーマン面のこととする。
(a)二つのリーマン面間の非定値正則写像の数は、有限である。
(b)リーマン面をひとつ固定したとき、そのリーマン面からの非定値正則写像があるようなリーマン面の数は,有限である。
主張(a)、(b)をあわせてde Franchisの定理という。de Franchisの定理については、様々な高次元化の試みとともに,写像や像多様体の数について、位相的あるいは代数的な不変量にのみ依存する上界を与えようという試みが近年おこなわれている。本研究は、そのような上界をできればシャープな形であたえようとするものである。
あるリーマン面Xからの正則写像が存在するリーマン面を調べるにあたって、Xのヤコビ多様体のendomorphismを調べることは非常に有用である。ヤコビ多様体のendomorphismを調べる過程において、超楕円的リーマン面から、他のリーマン面への正則写像においては、ワイエルシュトラス点の対応によりinvolitionを無視すれば写像が一意に決まってしまうことを、まず示した。ちなみに、超楕円的リーマン面からの正則写像においては、像も超楕円的であり、ワイエルシュトラス点は、ワイエルシュトラス点に写されることは既に知られていた。さらに、この結果を応用して、正則写像は、それから導かれる、Z2係数のホモロジー群の準同型により、involitionを無視すれば一意に決まってしまうことを示した。これらの結果により、超楕円的リーマン面からの正則写像の数の、種数にのみ依存する上界が得られるが、想像される物よりは、まだ、かなり大きいようである。
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